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  • 试题:

    福建省三明市尤溪县初中2015届学业质量检查数学试卷

    一、选择题(共10题,每题4分,满分40.每题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填涂)

    1.(4分)﹣22的()

          A                       倒数                            B                             绝对值     C 平方根    D 相反数

    2.(4分)将6.18×103化为小数是()

          A                       0.000618                     B                             0.00618    C 0.0618    D 0.618

    3.(4分)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()

          A                                         B                                   C     D

    4.(4分)菲尔兹奖(Fields Medal)是享有崇高声誉的数学大奖,每四年颁奖一次,颁给二至四名成就显著的年轻数学家.对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计,整理成下面的表格.

    组别                  第一组          第二组             第三组             第四组

    年龄段(岁)    27x31       31x34          34x37          37x40

    频数(人)       8                   11                     17                    20

    则这56个数据的中位数落在()

          A                       第一组                        B                             第二组     C 第三组    D 第四组

    5.(4分)如图,ABCD,点ECA的延长线上.若BAE=40°,则ACD的大小为()

          A                       120°                            B                             130°  C 140° D 150°

    6.(4分)刘俊问王老师的年龄时,王老师说:我像你这么大时,你才3岁;等你到了我这么大时,我就45岁了.设王老师今年x岁,刘俊今年y岁,根据题意,列方程组正确的是()

          A                                                         B

          C                                                         D

    7.(4分)在同一直角坐标系中,若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点,则()

          A                       k1k20                       B                             k1k20    C k1+k20 D k1+k20

    8.(4分)如图,将ABC沿BC方向平移得到DCE,连结AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()

          A                       ACB=60°                 B                             B=60°   C AB=BC   D AC=BC

    9.(4分)如图,把图形折叠起来,它会变为下面的哪幅立体图形()

          A                                          B                                    C       D

    10.(4分)如图,直径ABCD的夹角为60°PO上的一个动点(不与点ABCD重合).PMPN分别垂直于CDAB,垂足分别为MN.若O的半径长为2,则MN的长()

          A  P点运动而变化,最大值为

          B  等于

          C  P点运动而变化,最小值为

          D  P点运动而变化,没有最值

    二、填空题(共6题,每题4分,满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置)

    11.(4分)因式分解:xy24x=

    12.(4分)若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a=

    13.(4分)小亮与小明一起玩石头、剪刀、布的游戏,两同学同时出剪刀的概率是.

    14.(4分)一个扇形的弧长是20πcm,半径是24cm,则此扇形的圆心角是度.

    15.(4分)已知不等臂跷跷板AB长为3,当AB的一端点A碰到地面时(如图1),AB与地面的夹角为30°;当AB的另一端点B碰到地面时(如图2),AB与地面的夹角的正弦值为,那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米.

    16.(4分)定义:对于任意一个不为1的有理数a,把称为a的差倒数,如2的差倒数为,﹣1的差倒数为=.记a2a1的差倒数,a3a2的差倒数,a4a3的差倒数,,依此类推,则a2=a2015=

    三、解答题(共7题,满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置)

    17.(7分)计算:|3|+2π0+(﹣1

    18.(7分)化简并求值:.其中:a=b=

    19.(8分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

    20.(8分)已知:如图,在ABC中,AB=ACBECD是中线.

    1)求证:BE=CD

    2)求的值.

    21.(10分)如图所示,AB两个旅游点从2011年至清明小长假期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示,请解答以下问题:

    1B旅游点的旅游人数相对上一年,长最快的是哪一年?

    2)求AB两个旅游点从2011年到旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;

    3A旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A旅游点的最佳接待人数为4万人.A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量.已知游客数量y(万人)与门票价格x(元)之间满足函数关系y=5.若要使A旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少元?

    22.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k6=0有两个不相等的实数根

    1)求实数k的取值范围;

    2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.

    23.(10分)如图,ABO直径,CDO上不同于AB的两点,ABD=2BAC,连接CD.过点CCEDB,垂足为E,直线ABCE相交于F点.

    1)求证:CFO的切线;

    2)当BF=5sinF=时,求BD的长.

    24.(12分)已知:二次函数y=ax2+bx+6a0)的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是方程x24x12=0的两个根.

    1)求出该二次函数的表达式及顶点坐标;

    2)如图,连接ACBC,点P是线段OB上一个动点(点P不与点OB重合),过点PPQACBC于点Q,当CPQ的面积最大时,求点P的坐标.

    25.(14分)如图1ABC中,点ABC三点的坐标分别为A (﹣12),B (﹣30),C (﹣10);如图2,将ABC绕点C顺时针旋转∠α0°α180°)得DEC,点A和点D对应,作EFx轴,DGx轴,垂足分别为F点和G点.

    1)当∠α=30°时,求DE两点的坐标;

    2)当∠α为何值时,DECEFCDCG都相似;

    3)在旋转过程中,若抛物线经过DEC三点,请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式.

    福建省三明市尤溪县初中2015届学业质量检查数学试卷

    参考答案与试题解析

    一、选择题(共10题,每题4分,满分40.每题只有一个正确的选项,请在答题卡的相应位置填涂)

    1.(4分)﹣22的()

          A                       倒数                            B                             绝对值     C 平方根    D 相反数

    考点:实数的性质.

    分析:根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案.

    解答:解:﹣22相反数,

    故选:D

    点评:本题考查了实数的性质,只有符号不同的两个数互为相反数.

    2.(4分)将6.18×103化为小数是()

          A                       0.000618                     B                             0.00618    C 0.0618    D 0.618

    考点:科学记数法原数.

    分析:利用科学记数法表示比较小的数将用科学记数法表示的数还原即可.

    解答:解:0.00618=6.18×103

    6.18×103=0.00618

    故选:B

    点评:本题考查写出用科学记数法表示的原数.

    将科学记数法a×10n表示的数,还原成通常表示的数,就是把a的小数点向左移动n位所得到的数.

    把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程,这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法.

    3.(4分)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()

          A                                         B                                   C     D

    考点:轴对称图形.

    分析:根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

    解答:解:A、是轴对称图形,故A符合题意;

    B、不是轴对称图形,故B不符合题意;

    C、不是轴对称图形,故C不符合题意;

    D、不是轴对称图形,故D不符合题意.

    故选:A

    点评:本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

    4.(4分)菲尔兹奖(Fields Medal)是享有崇高声誉的数学大奖,每四年颁奖一次,颁给二至四名成就显著的年轻数学家.对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计,整理成下面的表格.

    组别                  第一组          第二组             第三组             第四组

    年龄段(岁)    27x31       31x34          34x37          37x40

    频数(人)       8                   11                     17                    20

    则这56个数据的中位数落在()

          A                       第一组                        B                             第二组     C 第三组    D 第四组

    考点:中位数;频数(率)分布表.

    分析:根据中位数的定义可知,第28、第29两个数的平均数为中位数.

    解答:解:题目中数据共有56个,故中位数是按从小到大排列后第28、第29两个数的平均数,而第28、第29两个数均在第三组,

    故这组数据的中位数落在第三组.

    故选C

    点评:本题属于基础题,考查了确定一组数据的中位数的能力.要明确定义:中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数),叫做这组数据的中位数.

    5.(4分)如图,ABCD,点ECA的延长线上.若BAE=40°,则ACD的大小为()

          A                       120°                            B                             130°  C 140° D 150°

    考点:平行线的性质.

    分析:先根据补角的定义求出BAC的度数,再由平行线的性质即可得出结论.

    解答:解:∵∠BAE=40°

    ∴∠CAB=180°40°=140°

    ABCD

    ∴∠BAC=ACD=140°

    故选C

    点评:本题考查的是平行线的性质,用到的知识点为:两直线平行,内错角相等.

    6.(4分)刘俊问王老师的年龄时,王老师说:我像你这么大时,你才3岁;等你到了我这么大时,我就45岁了.设王老师今年x岁,刘俊今年y岁,根据题意,列方程组正确的是()

          A                                                         B

          C                                                         D

    考点:由实际问题抽象出二元一次方程组.

    分析:设王老师今年x岁,刘俊今年y岁,根据题意列出方程组解答即可.

    解答:解:王老师今年x岁,刘俊今年y岁,可得:

    故选D

    点评:考查了二元一次方程组的应用和理解题意能力,关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解.

    7.(4分)在同一直角坐标系中,若正比例函数y=k1x的图象与反比例函数的图象没有公共点,则()

          A                       k1k20                       B                             k1k20    C k1+k20 D k1+k20

    考点:反比例函数与一次函数的交点问题.

    分析:根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可.

    解答:解:正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象没有公共点,

    k1k2异号,即k1k20

    故选:A

    点评:本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题,熟知反比例函数与一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.

    8.(4分)如图,将ABC沿BC方向平移得到DCE,连结AD,下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是()

          A                       ACB=60°                 B                             B=60°   C AB=BC   D AC=BC

    考点:菱形的判定;平移的性质.

    分析:首先根据平移的性质得出AB平行且等于CD,得出四边形ABCD为平行四边形,进而利用菱形的判定得出答案.

    解答:解:ABC沿BC方向平移得到DCE

    AB平行且等于CD

    四边形ABCD为平行四边形,

    AC=BC时,平行四边形ACED是菱形.

    故选:D

    点评:此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定,得出AB平行且等于CD是解题关键.

    9.(4分)如图,把图形折叠起来,它会变为下面的哪幅立体图形()

          A                                          B                                    C       D

    考点:展开图折叠成几何体.

    分析:根据正方体的展开图中6个面的关系分别对四个选项进行判断.

    解答:解:A、有O的一面所对的面没记号,还有两个没记号的面相对,所以A选项错误;

    B、有O的一面与没记号的面和有横线的面相邻,所以B选项正确;

    C、有横线的两面相对,所以C选项错误;

    D、横线与O的位置关系不对,所以D选项错误.

    故选B

    点评:本题考查了展开图折叠成几何图:通过结合立体图形与平面图形的相互转化,去理解和掌握几何体的展开图,要注意多从实物出发,然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形.

    10.(4分)如图,直径ABCD的夹角为60°PO上的一个动点(不与点ABCD重合).PMPN分别垂直于CDAB,垂足分别为MN.若O的半径长为2,则MN的长()

          A  P点运动而变化,最大值为

          B  等于

          C  P点运动而变化,最小值为

          D  P点运动而变化,没有最值

    考点:垂径定理;三角形中位线定理;解直角三角形.

    分析:PMAB于圆心O时,延长PM交圆与点EPNCD,延长PN交圆于点F,连接EF,求出EF的长,得到MN的长,根据圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系得到答案.

    解答:解:如图,当PMAB于圆心O时,延长PM交圆与点EPNCD,延长PN交圆于点F,连接EF

    根据垂径定理,MN=EF

    ∵∠AOD=120°PMAB

    ∴∠PMN=30°P=60°

    RtPEF中,PE=4,则EF=2

    MN=

    P移动时,由题意,P=60°

    根据在同圆中,圆周角相等,所对的弧相等,弦也相等,

    即弦长为2MN=

    故选:B

    点评:本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理和锐角三角函数的运用,求出特殊情况下的MN的值是解题的关键,解答时,要灵活运用圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系.

    二、填空题(共6题,每题4分,满分24分.请将答案填在答题卡的相应位置)

    11.(4分)因式分解:xy24x=xy+2)(y2

    考点:提公因式法与公式法的综合运用.

    分析:先提取公因式x,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

    解答:解:xy24x

    =xy24),

    =xy+2)(y2).

    点评:本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式,熟记公式是解题的关键,难点在于要进行二次因式分解.

    12.(4分)若二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a=2

    考点:最简二次根式.

    分析:判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.

    解答:解:二次根式是最简二次根式,则最小的正整数a=2

    故答案为:2

    点评:本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

    13.(4分)小亮与小明一起玩石头、剪刀、布的游戏,两同学同时出剪刀的概率是

    考点:列表法与树状图法.

    专题:常规题型.

    分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与两同学同时出剪刀的情况,再利用概率公式即可求得答案.

    解答:解:画树状图得:

    共有9种等可能的结果,两同学同时出剪刀的有1种情况,

    两同学同时出剪刀的概率是:

    故答案为:

    点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

    14.(4分)一个扇形的弧长是20πcm,半径是24cm,则此扇形的圆心角是150度.

    考点:弧长的计算.

    分析:直接利用弧长公式l=即可求出n的值,计算即可.

    解答:解:根据l===20π

    解得:n=150

    故答案为:150

    点评:本题考查了扇形弧长公式计算,注意公式的灵活运用是解题关键.

    15.(4分)已知不等臂跷跷板AB长为3,当AB的一端点A碰到地面时(如图1),AB与地面的夹角为30°;当AB的另一端点B碰到地面时(如图2),AB与地面的夹角的正弦值为,那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH=米.

    考点:解直角三角形的应用.

    分析:利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长,进而求出即可.

    解答:解:设OH=x

    AB的一端点A碰到地面时,AB与地面的夹角为30°

    AO=2xm

    AB的另一端点B碰到地面时,AB与地面的夹角的正弦值为

    BO=3xm

    AO+BO=2x+3x=3m

    解得;x=

    故答案为:

    点评:此题主要考查了解直角三角形的应用,正确用未知数表示出AB的长是解题关键.

    16.(4分)定义:对于任意一个不为1的有理数a,把称为a的差倒数,如2的差倒数为,﹣1的差倒数为=.记a2a1的差倒数,a3a2的差倒数,a4a3的差倒数,,依此类推,则a2=2a2015=2

    考点:规律型:数字的变化类;倒数.

    专题:新定义.

    分析:首先根据a1=,可得a2=a3=,所以这列数是2、﹣12、﹣1,每3个数是一个循环;然后用2015除以3,求出一共有多少个循环,还剩下几个数,进而判断出a2015的值是多少即可.

    解答:解:因a1=

    所以a2=

    a3=

    所以这列数是2、﹣12、﹣1,每3个数是一个循环,

    因为2015÷3=6712

    所以a2015=2

    故答案为:22

    点评:此题主要考查了探寻数列规律问题,注意观察总结规律,并能正确的应用规律,解答此题的关键是判断出:这列数是2、﹣12、﹣1,每3个数是一个循环.

    三、解答题(共7题,满分86分.请将解答过程写在答题卡的相应位置)

    17.(7分)计算:|3|+2π0+(﹣1

    考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

    专题:计算题.

    分析:原式第一项利用绝对值的代数意义化简,第二项利用零指数幂法则计算,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果.

    解答:解:原式=3+13

    =1

    点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

    18.(7分)化简并求值:.其中:a=b=

    考点:分式的化简求值.

    专题:计算题.

    分析:原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把ab的值代入计算即可求出值.

    解答:解:原式===

    a==2b=时,原式=

    点评:此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

    19.(8分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

    考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.

    专题:计算题.

    分析:首先把两条不等式的解集分别解出来,再根据大大取大,小小取小,比大的小比小的大取中间,比大的大比小的小无解的原则,把不等式的解集用一条式子表示出来.

    解答:解:

    式得x1

    x3

    所以﹣1x3

    点评:本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法,如果是表示大于或小于号的点要用空心,如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心.

    20.(8分)已知:如图,在ABC中,AB=ACBECD是中线.

    1)求证:BE=CD

    2)求的值.

    考点:全等三角形的判定与性质;三角形的重心;等腰三角形的性质.

    分析:1)由三角形全等得到对应边相等,证得结论;

    2)由相似三角形得到对应边的比相等,再根据三角形的中位线定理得到对应边的比等于

    解答:解:(1)证明:AB=ACBECD是中线,

    AD=ABAE=AC

    AD=AE

    ABEACD中,

    ∴△ABE≌△ACD

    BE=CD

    2BECD是中线,

    AD=BDAE=CE

    DEBCDE=BC

    ∴△DEO∽△BCO

    ==

    点评:本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,三角形的中位线定理,三角形的中线,相似三角形的判定和性质,熟记相似三角形的判定定理是关键.

    21.(10分)如图所示,AB两个旅游点从2011年至清明小长假期间的旅游人数变化情况分别用实线和虚线表示,请解答以下问题:

    1B旅游点的旅游人数相对上一年,增长最快的是哪一年?

    2)求AB两个旅游点从2011年到旅游人数的平均数和方差,并从平均数和方差的角度,用一句话对这两个旅游点的情况进行评价;

    3A旅游点现在的门票价格为每人80元,为保护旅游点环境和游客的安全,A旅游点的最佳接待人数为4万人.A旅游点决定提高门票价格来控制游客数量.已知游客数量y(万人)与门票价格x(元)之间满足函数关系y=5.若要使A旅游点的游客人数不超过4万人,则门票价格至少应提高多少元?

    考点:一元一次不等式的应用;折线统计图;算术平均数;方差.

    分析:1)认真审图不难看B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2004年;

    2)根据平均数和方差的计算公式求出甲乙的平均数与方差,然后根据方差的大小两个旅游点的情况进行评价;

    3)根据函数的解析式y=54来确定应提高票价多少元.

    解答:解:(1B旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是2004年;

    2==3(万人),

    ==3(万人).

    SA2=[132+232+332+432+532]=2

    SB2=[332+332+232+432+332]=

    2011至清明小长假期间,AB两个旅游点平均每年的旅游人数均为3万人,但A旅游点较B旅游点的旅游人数波动更大一些;

    3)由题意,得54

    解得x100

    x8010080=20

    答:A旅游点的门票至少要提高20元.

    点评:本题考查了折线统计图与一元一次不等式的运用.读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.也考查了平均数与方差的定义.

    22.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+3k6=0有两个不相等的实数根

    1)求实数k的取值范围;

    2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.

    考点:根的判别式.

    分析:1)根据一元二次方程的定义和的意义得到=224×1×3k6=12k+280,然后解不等式即可得到k的取值范围;

    2)由(1)的范围得到k=1k=2,然后把k=12代入原方程,然后解方程确定满足条件的k值即可.

    解答:解:(1关于x的一元二次方程x2+2x+3k6=0有两个不相等的实数根,

    =224×1×3k6=12k+280

    k

    k的取值范围是k

    2))k为正整数,

    k=1k=2

    k=1时,原方程为x2+2x3=0,解得x1=3x2=1

    k=2是,原方程为x2+2x=0,解得x1=0x2=2

    k的值为12

    点评:本题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式的关系:

    10方程有两个不相等的实数根;

    2=0方程有两个相等的实数根;

    30方程没有实数根.

    23.(10分)如图,ABO直径,CDO上不同于AB的两点,ABD=2BAC,连接CD.过点CCEDB,垂足为E,直线ABCE相交于F点.

    1)求证:CFO的切线;

    2)当BF=5sinF=时,求BD的长.

    考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质.

    分析:1)连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出3=21,由已知4=21,得到4=3,则OCDB,再由CEDB,得到OCCF,根据切线的判定即可证明CFO的切线;

    2)连结AD.先解RtBEF,得出BE=BFsinF=3,由OCBE,得出FBE∽△FOC,则,设O的半径为r,由此列出方程,解方程求出r的值,由ABO直径,得出AB=15ADB=90°,再根据三角形内角和定理证明F=BAD,则由sinBAD==,求出BD的长.

    解答:1)证明:连接OC

    OA=OC

    ∴∠1=2

    ∵∠3=1+2

    ∴∠3=21

    ∵∠4=21

    ∴∠4=3

    OCDB

    CEDB

    OCCF

    OCO的半径,

    CFO的切线;

    2)解:连结AD

    RtBEF中,∵∠BEF=90°BF=5sinF=

    BE=BFsinF=3

    OCBE

    ∴△FBE∽△FOC

    O的半径为r

    ABO直径,

    AB=15ADB=90°

    ∵∠4=EBF

    ∴∠F=BAD

    BD=9

    点评:本题考查了切线的判定,解直角三角形,相似三角形的判定与性质等知识点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

    24.(12分)已知:二次函数y=ax2+bx+6a0)的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左侧),点A、点B的横坐标是方程x24x12=0的两个根.

    1)求出该二次函数的表达式及顶点坐标;

    2)如图,连接ACBC,点P是线段OB上一个动点(点P不与点OB重合),过点PPQACBC于点Q,当CPQ的面积最大时,求点P的坐标.

    考点:二次函数综合题.

    分析:1)首先求出x24x12=0的两根,进而求出点A和点B的坐标,利用待定系数法列出ab的二元一次方程组,求出ab的值,即可求出二次函数的解析式;

    2)设点P的横坐标为m,则0m6,连接AQ,用m表示出CPQ的面积,利用二次函数的性质,求出当CPQ的面积最大时,点P的坐标.

    解答:解:(1)由x24x12=0

    解得x=2x=6

    A、点B的横坐标是方程x24x12=0的两个根,

    A(﹣20)、B60),

    解得

    故二次函数y=x2+2x+6,顶点坐标(28);

    2)设点P的横坐标为m,则0m6

    连接AQ

    直线BC的解析式为y=x+6,直线AC的解析式为y=3x+6

    Q点坐标为(a6a),

    PQAC

    可知

    解得a=

    6a=6m),

    SCPQ=SAPQ=m+26m),

    = m24m12=m22+6

    m=2时,S最大=6

    所以,当CPQ的面积最大时,点P的坐标是(20).

    点评:本题主要考查了二次函数的综合题,此题涉及到待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象以及三角形面积的计算,解答本题的关键是正确求出二次函数的解析式,此题难度不大.

    25.(14分)如图1ABC中,点ABC三点的坐标分别为A (﹣12),B (﹣30),C (﹣10);如图2,将ABC绕点C顺时针旋转∠α0°α180°)得DEC,点A和点D对应,作EFx轴,DGx轴,垂足分别为F点和G点.

    1)当∠α=30°时,求DE两点的坐标;

    2)当∠α为何值时,DECEFCDCG都相似;

    3)在旋转过程中,若抛物线经过DEC三点,请求出一条以y轴为对称轴的抛物线的解析式.

    考点:二次函数综合题.

    分析:1)由旋转的性质可知CE=BC=2ECF=30°,进而可求出EFCF的长,所以点E的坐标可求出;同理即可求出点D的坐标;

    2)若使DECEFCDCG都相似,则旋转角不确定,所以要分四种情况分别讨论:当∠α=30°时,当∠α=60°时,当∠α=120°时,当∠α=150°时;

    3)由(2可知,当∠α=60°时,点 ED关于y轴对称,此时抛物线的对称轴为y轴,易求E(﹣2)、D2),设y=ax2+c,代入C (﹣10)、D2),求出ac的值即可得到抛物线解析式.

    解答:解:(1ABC三点的坐标分别为A (﹣12),B (﹣30),C (﹣10),

    AC=2BC=2

    ABC绕点C顺时针旋转∠α=30°DEC,点A和点D对应,

    CE=BC=2ECF=30°

    EF=CE=1FC=

    FC=1+

    E(﹣11),

    同理可得:点D(﹣1+3);

    2如图2,当∠α=30°时,DECEFCDCG都相似.

    理由如下:

    A(﹣12),B(﹣30),C(﹣10),

    BC=2AC=2ACB=90°

    AB=4

    sinA=

    ∴∠A=30°ABC=60°

    ∴△DEC中,EDC=30°DEC=60°ECD=90°

    ∵∠ECF=30°ECD=90°

    ∴∠DCG=60°

    ∴∠CDG=30°

    DECEFCDCG中:EDC=ECF=CDG=30°

    ECD=EFC=CGD=90°

    ∴△DEC∽△CEF∽△DCG

    同理可得以下三种情况:

    如图3,当∠α=60°时,DEC∽△ECF∽△CDG

    如图4,当∠α=120°时,DEC∽△ECF∽△CDG

    如图5,当∠α=150°时,DEC∽△CEF∽△DCG

    3)由(2可知,当∠α=60°时,点 ED关于y轴对称,此时抛物线的对称轴为y轴.

    易求:E(﹣2)、D2),

    y=ax2+c代入C (﹣10)、D2),得

    解得:

    抛物线的解析式为:y=x2

    点评:本题考查了二次函数的综合题,用到的知识点有旋转的性质、勾股定理的运用、特殊角的锐角三角函数值、相似三角形的判定和性质、利用待定系数法求二次函数的解析式,此题的难点在(2)小问,解题的关键是运用分类讨论的数学方法,做到对问题的答案不重不漏.



      
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