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  • 试题:

    2015年福建省三明市中考数学试卷

    一、选择题(共10题,每题4分,满分40分,每题只有一个正确选项)

    1.下列各数中,绝对值最大的数是(  )

        A5                     B                             3 C                       0    D   2

    考点:有理数大小比较;绝对值..

    分析:根据绝对值的概念,可得出距离原点越远,绝对值越大,可直接得出答案.

    解答:解:|5|=5|3|=3|0|=0|2|=2

    5320

    绝对值最大的数是5

    故选:A

    点评:本题考查了实数的大小比较,以及绝对值的概念,解决本题的关键是求出各数的绝对值.

     

    2.(4分)(2015福建)一个正常人的心跳平均每分70次,一天大约跳100800次,将100800用科学记数法表示为(  )

        A0.1008×106      B                             1.008×106                    C   1.008×105       D 10.08×104

    考点:科学记数法表示较大的数..

    分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

    解答:解:100800=1.008×105

    故故选C

    点评:    此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

     

    3.(4分)(2015福建)如图是由4个完全相同的小正方形组成的几何体,这个几何体的主视图是(  )

        A        B                                                 C         D

    考点:简单组合体的三视图..

    分析:主视图是从正面看到的图形,是这个几何体从正面照射的正投影,据此求解.

    解答:解:观察该几何体发现:其主视图的第一层有两个正方形,上面有一个正方形,且位于左侧,

    故选D

    点评:本题考查了简单组合体的三视图,解题的关键是了解主视图的定义,难度不大.

     

    4.(4分)(2015福建)下列计算正确的是(  )

        A22=4                B                             20=0                            C   21=2  D =±2

    考点:负整数指数幂;有理数的乘方;算术平方根;零指数幂..

    分析:    A:根据有理数的乘方的运算方法判断即可.

    B:根据零指数幂的运算方法判断即可.

    C:根据负整数指数幂的运算方法判断即可.

    D:根据算术平方根的含义和求法判断即可.

    解答:解:22=4

    选项A正确;

    20=1

    选项B不正确;

    21=

    选项C不正确;

    选项D不正确.

    故选:A

    点评:1)此题主要考查了负整数指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:ap=a0p为正整数);计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算;当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数.

    2)此题还考查了零指数幂的运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:a0=1a0);001

    3)此题还考查了有理数的乘方的运算方法,以及算术平方根的含义和求法,要熟练掌握.

     

    5.(4分)(2015福建)在九(1)班的一次体育测试中,某小组7位女生的一分钟跳绳次数分别是:162167158165175142167,这组数据的中位数是(  )

        A156                 B                             162 C                       165 D   167

    考点:中位数..

    分析:找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.

    解答:解:这组数据按照从小到大的顺序排列为:142158162165167167175,第四个数为165

    则中位数为:165

    故选C

    点评:本题考查了中位数的知识,将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

     

    6.(4分)(2015福建)如图,在ABCD中,O是对角线ACBD的交点,下列结论错误的是(  )

        AABCD          B                             AB=CD                       C   AC=BD   D OA=OC

    考点:平行四边形的性质..

    分析:根据平行四边形的性质推出即可.

    解答:解:四边形ABCD是平行四边形,

    ABCDAB=CDOA=OC

    但是ACBD不一定相等,

    故选C

    点评:本题考查了平行四边形的性质的应用,能熟记平行四边形的性质是解此题的关键,注意:平行四边形的对边相等且平行,平行四边形的对角线互相平分.

     

    7.(4分)(2015福建)在一个不透明的盒子里装有3个黑球和1个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出2个球,下列事件中,不可能事件是(  )

        A.摸出的2个球都是白球                      B  摸出的2个球有一个是白球

        C.摸出的2个球都是黑球                       D  摸出的2个球有一个黑球

    考点:随机事件..

    分析:根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.

    解答:解:A、只有一个白球,故A是不可能事件,故A正确;

    B、摸出的2个球有一个是白球是随机事件,故B错误;

    C、摸出的2个球都是黑球是随机事件,故C错误;

    D、摸出的2个球有一个黑球是随机事件,故D错误;

    故选:A

    点评:本题考查了可能性的大小,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

     

    8.(4分)(2015福建)在半径为6O中,60°圆心角所对的弧长是(  )

        Aπ                     B                             2π  C                       4π  D   6π

    考点:弧长的计算..

    分析:根据弧长的计算公式l=计算即可.

    解答:解:l===2π

    故选:B

    点评:本题考查的是弧长的计算,掌握弧长的计算公式:l=是解题的关键.

     

    9.(4分)(2015福建)如图,在ABC中,ACB=90°,分别以点AB为圆心,以相同的长(大于AB)为半径作弧,两弧相交于点MN,作直线MNAB于点D,交BC于点E,连接CD,下列结论错误的是(  )

        AAD=BD           B                             BD=CD                       C   A=BED   D ECD=EDC

    考点:作图基本作图;线段垂直平分线的性质;直角三角形斜边上的中线..

    分析:由题意可知:MNAB的垂直平分线,可以得出AD=BDCD为直角三角形ABC斜边上的中线,得出CD=BD;利用三角形的内角和得出A=BED;因为A60°,得不出AC=AD,无法得出EC=ED,则ECD=EDC不成立;由此选择答案即可.

    解答:解:MNAB的垂直平分线,

    AD=BDBDE=90°

    ∵∠ACB=90°

    CD=BD

    ∵∠A+B=B+BED=90°

    ∴∠A=BED

    ∵∠A60°ACAD

    ECED

    ∴∠ECD≠∠EDC

    故选:D

    点评:此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质.注意垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.

     

    10.(4分)(2015福建)如图,已知点A是双曲线y=在第一象限的分支上的一个动点,连接AO并延长交另一分支于点B,过点Ay轴的垂线,过点Bx轴的垂线,两垂线交于点C,随着点A的运动,点C的位置也随之变化.设点C的坐标为(mn),则mn满足的关系式为(  )

        An=2m           B                             n=                         C   n=4m  D n=

    考点:反比例函数图象上点的坐标特征..

    分析   首先根据点C的坐标为(mn),分别求出点A的坐标、点B的坐标;然后根据AOBO所在的直线的斜率相同,求出mn满足的关系式即可.

    解答:解:C的坐标为(mn),

    A的纵坐标是n,横坐标是:

    A的坐标为(n),

    C的坐标为(mn),

    B的横坐标是m,纵坐标是:

    B的坐标为(m),

    mn=

    m2n2=4

    m0n0

    mn=2

    n=

    故选:B

    点评:此题主要考查了反比例函数的图象上点的坐标的特征,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:图象上的点(xy)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k双曲线是关于原点对称的,两个分支上的点也是关于原点对称;xk图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|

     

    二、填空题(共6题,每题4分,满分24分)

    11.(4分)(2015福建)化简:=  

    考点:约分..

    分析:将分母分解因式,然后再约分、化简.

    解答:解:原式==

    点评:利用分式的性质变形时必须注意所乘的(或所除的)整式不为零.

     

    12.(4分)(2015福建)某班数学老师想了解学生对数学的喜欢程度,对全班50名学生进行调查,根据调查结果绘制了扇形统计图(如图所示),其中A表示很喜欢B表示一般C表示不喜欢,则该班很喜欢数学的学生有 18 人.

    考点:扇形统计图..

    专题:计算题.

    分析:根据扇形统计图求出A占的百分比,由调查的总人数50计算即可得到结果.

    解答:解:根据题意得:(116%48%×50=18(人),

    则该班很喜欢数学的学生有18人.

    故答案为:18

    点评:此题考查了扇形统计图,弄清图形中的数据是解本题的关键.

     

    13.(4分)(2015福建)在一次函数y=kx+3中,y的值随着x值的增大而增大,请你写出符合条件的k的一个值: 2 

    考点:一次函数的性质..

    专题:开放型.

    分析:直接根据一次函数的性质进行解答即可.

    解答:解:当在一次函数y=kx+3中,y的值随着x值的增大而增大时,k0,则符合条件的k的值可以是12345

    故答案是:2

    点评:本题考查了一次函数的性质.在直线y=kx+b中,当k0时,yx的增大而增大;当k0时,yx的增大而减小.

     

    14.(4分)(2015福建)如图,正五边形ABCDE内接于O,则CAD= 36 度.

    考点:圆周角定理;正多边形和圆..

    分析:圆内接正五边形ABCDE的顶点把圆五等分,即可求得五条弧的度数,根据圆周角的度数等于所对的弧的度数的一半即可求解.

    解答:解:五边形ABCDE是正五边形,

    =====72°

    ∴∠ADB=×72°=36°

    故答案为36

    点评:本题考查了正多边形的计算,理解正五边形的顶点是圆的五等分点是关键.

     

    15.(4分)(2015福建)观察下列图形的构成规律,依照此规律,第10个图形中共有 111 “•”

    考点:规律型:图形的变化类..

    分析:观察图形可知前4个图形中分别有:371321“•”,所以可得规律为:第n个图形中共有[nn+1+1]“•”.再将n=10代入计算即可.

    解答:解:由图形可知:

    n=1时,“•”的个数为:1×2+1=3

    n=2时,“•”的个数为:2×3+1=7

    n=3时,“•”的个数为:3×4+1=13

    n=4时,“•”的个数为:4×5+1=21

    所以n=n时,“•”的个数为:nn+1+1

    n=10时,“•”的个数为:10×11+1=111

    故答案为111

    点评:本题主要考查了规律型:图形的变化类,关键在观察、分析已知数据,寻找它们之间的相互联系,探寻其规律,难度适中.

     

    16.(4分)(2015福建)如图,在ABC中,ACB=90°AB=5BC=3PAB边上的动点(不与点B重合),将BCP沿CP所在的直线翻折,得到BCP,连接BA,则BA长度的最小值是 1 

    考点:翻折变换(折叠问题)..

    分析:首先由勾股定理求得AC的长度,由轴对称的性质可知BC=CB=3,当BA有最小值时,即AB+CB有最小值,由两点之间线段最短可知当ABC三点在一条直线上时,AB有最小值.

    解答:解:在RtABC中,由勾股定理可知:AC===4

    由轴对称的性质可知:BC=CB=3

    CB长度固定不变,

    AB+CB有最小值时,AB的长度有最小值.

    根据两点之间线段最短可知:ABC三点在一条直线上时,AB有最小值,

    AB=ACBC=43=1

    故答案为:1

    点评:本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理和线段的性质,将求BA的最小值转化为求AB+CB的最小值是解题的关键.

     

    三、解答题(共9题,满分86分)

    17.(8分)(2015福建)先化简,再求值:(x12+xx+2),其中x=

    考点:整式的混合运算化简求值..

    分析:原式第一项利用完全平方公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,去括号合并得到最简结果,将x的值代入计算即可求出值.

    解答:解:原式=x22x+1+x2+2x=2x2+1

    x=时,原式=4+1=5

    点评:此题考查了整式的混合运算﹣化简求值,涉及的知识有:完全平方公式,平方差公式,多项式除单项式,去括号法则,以及合并同类项法则,熟练掌握公式及法则是解本题的关键.

     

    18.(8分)(2015福建)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

    考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集..

    分析:先求出不等式组中每一个不等式的解集,然后把不等式的解集表示在数轴上,再表示出它们的公共部分即可.

    解答:解:

    得:x1

    得:x2

    不等式组的解集是:﹣1x2

    点评:本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.要注意x是否取得到,若取得到则x在该点是实心的.反之x在该点是空心的.

     

    19.(8分)(2015福建)如图,一条河的两岸l1l2互相平行,在一次综合实践活动中,小颖去测量这条河的宽度,先在对岸l1上选取一个点A,然后在河岸l2时选择点B,使得AB与河岸垂直,接着沿河岸l2走到点C处,测得BC=60BCA=62°,请你帮小颖算出河宽AB(结果精确到1).(参考数据:sin62°≈0.88cos62°≈0.47tan62°≈1.88

    考点:解直角三角形的应用..

    专题:应用题.

    分析:在直角三角形ABC中,利用锐角三角函数定义求出AB的长即可.

    解答:解:在RtABC中,BC=60BCA=62°

    可得tanBCA=,即AB=BCtanBCA=60×1.88113(米),

    则河宽AB113

    点评:此题考查了解直角三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

     

    20.(8分)(2015福建)某校开展校园美德少年评选活动,共有助人为乐自强自立孝老爱亲诚实守信四种类别,每位同学只能参评其中一类,评选后,把最终入选的20位校园美德少年分类统计,制作了如下统计表,后来发现,统计表中前两行的数据都是正确的,后两行的数据中有一个是错误的.

    类别

    频数

    频率

    助人为乐美德少年

    a

    0.20

    自强自立美德少年

    3

    b

    孝老爱亲美德少年

    7

    0.35

    诚实守信美德少年

    6

    0.32

    根据以上信息,解答下列问题:

    1)统计表中的a= 4 b 0.15 

    2)统计表后两行错误的数据是 0.32 ,该数据的正确值是 0.30 

    3)校园小记者决定从ABC三位自强自立美德少年中随机采访两位,用画树状图或列表的方法,求AB都被采访到的概率.

    考点:列表法与树状图法;频数(率)分布表..

    分析:1)根据频率=直接求得ab的值即可;

    2)用频数除以样本总数看是否等于已知的频率即可;

    3)列表将所有等可能的结果列举出来,利用概率公式求解即可.

    解答:解:(1)由题意得:a=20×0.20=4b=3÷20=0.15

    26÷20=0.30.32

    最后一行数据错误,正确的值为0.30

    3)列表得:

    A   B   C

    A       AB       AC

    B  BA      BC

    C  CA CB

    共有6种等可能的结果,AB都被选中的情况有2种,

    PAB都被采访到)==

    点评:本题考查了频数分布表及列表或树形图求概率的知识,解题的关键是能够正确的列表将所有等可能的结果列举出来,难度不大.

     

    21.(8分)(2015福建)某一天,蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子,到菜市场去卖,黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如下表所示:

    品名

    黄瓜

    茄子

    批发价(元/千克)

    3

    4

    零售价(元/千克)

    4

    7

    当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元,这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克?

    考点:二元一次方程组的应用..

    分析:设批发的黄瓜是x千克,茄子是y千克,根据用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子,卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元,列出方程组解答即可.

    解答:解:设批发的黄瓜是x千克,茄子是y千克,由题意得

    解得

    答:这天他批发的黄瓜15千克,茄子是25千克

    点评:此题考查二元一次方程组的实际运用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.

     

    22.(10分)(2015福建)已知二次函数y=x2+2x+m

    1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点,求m的取值范围;

    2)如图,二次函数的图象过点A30),与y轴交于点B,直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P,求点P的坐标.

    考点   抛物线与x轴的交点;二次函数的性质..

    分析:1)由二次函数的图象与x轴有两个交点,得到=22+4m0于是得到m>﹣1

    2)把点A30)代入二次函数的解析式得到m=3,于是确定二次函数的解析式为:y=x2+2x+3,求得B03),得到直线AB的解析式为:y=x+3,把对称轴方程x=1,直线y=x+3即可得到结果.

    解答:解:(1二次函数的图象与x轴有两个交点,

    ∴△=22+4m0

    m>﹣1

    2二次函数的图象过点A30),

    0=9+6+m

    m=3

    二次函数的解析式为:y=x2+2x+3

    x=0,则y=3

    B03),

    设直线AB的解析式为:y=kx+b

    解得:

    直线AB的解析式为:y=x+3

    抛物线y=x2+2x+3,的对称轴为:x=1

    x=1代入y=x+3y=2

    P12).

    点评:本题考查了二次函数与x轴的交点问题,求函数的解析式,知道抛物线的对称轴与直线AB的交点即为点P的坐标是解题的关键.

     

    23.(10分)(2015福建)已知:ABO的直径,点P在线段AB的延长线上,BP=OB=2,点QO上,连接PQ

    1)如图,线段PQ所在的直线与O相切,求线段PQ的长;

    2)如图,线段PQO还有一个公共点C,且PC=CQ,连接OQAC交于点D

    判断OQAC的位置关系,并说明理由;

    求线段PQ的长.

    考点:圆的综合题..

    分析:1)如图,连接OQ.利用切线的性质和勾股定理来求PQ的长度.

    2)如图,连接BC.利用三角形中位线的判定与性质得到BCOQ.根据圆周角定理推知BCAC,所以,OQAC

    3)利用割线定理来求PQ的长度即可.

    解答:解:(1)如图,连接OQ

    线段PQ所在的直线与O相切,点QO上,

    OQOP

    BP=OB=OQ=2

    PQ===2,即PQ=2

    2OQAC.理由如下:

    如图,连接BC

    BP=OB

    BOP的中点,

    PC=CQ

    CPQ的中点,

    BCPQO的中位线,

    BCOQ

    AB是直径,

    ∴∠ACB=90°,即BCAC

    OQAC

    3)如图PCPQ=PBPA,即PQ2=2×6

    解得PQ=2

    点评:本题考查了圆的综合题.掌握圆周角定理,三角形中位线定理,平行线的性质,熟练利用割线定理进行几何计算.

     

    24.(12分)(2015福建)如图,在平面直角坐标系中,顶点为A1,﹣1)的抛物线经过点B53),且与x轴交于CD两点(点C在点D的左侧).

    1)求抛物线的解析式;

    2)求点O到直线AB距离;

    3)点M在第二象限内的抛物线上,点Nx轴上,且MND=OAB,当DMNOAB相似时,请你直接写出点M的坐标.

    考点:二次函数综合题..

    分析:1)根据待定系数法,可得抛物线的解析式;

    2)根据勾股定理,可得OA2OB2AB2的长,根据勾股定理的逆定理,可得OAB的度数,根据点到直线的距离的定义,可得答案;

    3)根据抛物线上的点满足函数解析式,可得方程,根据相似三角形的性质,可得方程①③,根据解方程组,可得M点的坐标.

    解答:解:(1)设抛物线的解析式为y=ax121

    B点坐标代入函数解析式,得

    512a1=3

    解得a=

    故抛物线的解析式为y=x121

    2)由勾股定理,得OA2=11+12=2OB2=52+32=34AB2=512+3+12=32

    OA2+AB2=OB2

    ∴∠OAB=90°

    O到直线AB的距离是OA=

    3)设Mab),Na0

    y=0时,x121=0

    解得x1=3x2=1

    D30),DN=3a

    MND∽△OAB时,=,即=

    化简,得4b=a

    M在抛物线上,得b=a121  

    联立①②,得

    解得a1=3(不符合题意,舍),a2=2b=

    M1(﹣2),

    MND∽△BAO时,=,即=

    化简,得b=124a  

    联立②③,得

    解得a1=3(不符合题意,舍),a2=17b=124×(﹣17=80

    M2(﹣1780).

    综上所述:当DMNOAB相似时,点M的坐标(﹣2),(﹣1780).

    点评:本题考查了二次函数综合题,(1)设成顶点式的解析式是解题关键,(2)利用了勾股定理及勾股定理的逆定理,点到直线的距离;(3)利用了相似三角形的性质,图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键,要分类讨论,以防遗漏.

     

    25.(14分)(2015福建)在正方形ABCD中,点EF分别在边BCCD上,且EAF=CEF=45°

    1)将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG(如图),求证:AEG≌△AEF

    2)若直线EFABAD的延长线分别交于点MN(如图),求证:EF2=ME2+NF2

    3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图),请你直接写出线段EFBEDF之间的数量关系.

    考点:四边形综合题..

    分析:1)根据旋转的性质可知AF=AGEAF=GAE=45°,故可证AEG≌△AEF

    2)将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,连结GM.由(1)知AEG≌△AEF,则EG=EF.再由BMEDNFCEF均为等腰直角三角形,得出CE=CFBE=BMNF=DF,然后证明GME=90°MG=NF,利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2,等量代换即可证明EF2=ME2+NF2

    3)将ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,根据旋转的性质可以得到ADF≌△ABG,则DF=BG,再证明AEG≌△AEF,得出EG=EF,由EG=BG+BE,等量代换得到EF=BE+DF

    解答:1)证明:∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG

    AF=AGFAG=90°

    ∵∠EAF=45°

    ∴∠GAE=45°

    AGEAFE中,

    ∴△AGE≌△AFESAS);

    2)证明:设正方形ABCD的边长为a

    ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到ABG,连结GM

    ADF≌△ABGDF=BG

    由(1)知AEG≌△AEF

    EG=EF

    ∵∠CEF=45°

    ∴△BMEDNFCEF均为等腰直角三角形,

    CE=CFBE=BMNF=DF

    aBE=aDF

    BE=DF

    BE=BM=DF=BG

    ∴∠BMG=45°

    ∴∠GME=45°+45°=90°

    EG2=ME2+MG2

    EG=EFMG=BM=DF=NF

    EF2=ME2+NF2

    3)解:EF=BE+DF

    点评:本题是四边形综合题,其中涉及到正方形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,矩形的性质,勾股定理.准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键.

     



      
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