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  • 试题:

    2015年甘肃省庆阳市中考数学试卷

    一、选择题(本题包括12小题,每小题3分,共36分,每小题只有一个选项符合题意)

    1.﹣的相反数是(  )

        A                       3    B                       3 C                           D  

    考点:相反数..

    分析:一个数的相反数就是在这个数前面添上号.

    解答:解:﹣的相反数是

    故选C

    点评:本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0

     

    2.(3分)(2015庆阳)在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(  )

        A            B       C                                   D

    考点:轴对称图形..

    分析:根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.

    解答:解:A、是轴对称图形,故A符合题意;

    B、不是轴对称图形,故B不符合题意;

    C、不是轴对称图形,故C不符合题意;

    D、不是轴对称图形,故D不符合题意.

    故选:A

    点评:本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

     

    3.(3分)(2015庆阳)2015羊年春晚在某网站取得了同时在线人数超14 000 000的惊人成绩,创下了全球单平台网络直播记录,则14 000 000用科学记数法可表示为(  )

        A0.14×108          B                             1.4×107                        C   1.4×108   D 14×106

    考点:科学记数法表示较大的数..

    分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

    解答:解:14000000=1.4×107

    故选B

    点评:此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

     

    4.(3分)(2015庆阳)下列说法属于不可能事件的是(  )

        A.四边形的内角和为360°                     B  梯形的对角线不相等

        C.内错角相等                                        D  存在实数x满足x2+1=0

    考点:随机事件..

    分析:不可能事件就是一定不会发生的事件,根据定义即可作出判断.

    解答:解:A、是随机事件,故选项错误;

    B、是随机事件,故选项错误;

    C、是随机事件,故选项错误;

    D、不可能事件,故选项正确;

    故选D

    点评:考查了随机事件.解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.

     

    5.(3分)(2015庆阳)某几何体由一些大小相同的小正方体组成,如图分别是它的主视图和俯视图,那么要组成该几何体,至少需要多少个这样的小正方体(  )

        A3                     B                             4    C                       5    D   6

    考点:由三视图判断几何体..

    专题:数形结合.

    分析:先由俯视图可得最底层有3个小正方体,然后根据主视图得到第二列由两层,于是可判断上面第二列至少有1个小正方体,从而得到几何体所需要最少小正方体的个数.

    解答:解:从俯视图可得最底层有3个小正方体,由主视图可得上面一层至少有1个小正方体,所以至少需要4个这样的小正方体.

    故选B

    点评:本题考查了由三视图判断几何体:由三视图想象几何体的形状,首先,应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状,然后综合起来考虑整体形状.

     

    6.(3分)(2015庆阳)已知点Pa+1,﹣+1)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是(  )

        A                                 B                            

    C                                     D

    考点:在数轴上表示不等式的解集;解一元一次不等式组;关于原点对称的点的坐标..

    分析:首先根据题意判断出P点在第二象限,再根据第二象限内点的坐标符号(﹣,+),可得到不等式a+10,﹣+10,然后解出a的范围即可.

    解答:解:Pa+1,﹣+1)关于原点对称的点在第四象限,

    P点在第二象限,

    a+10,﹣+10

    解得:m<﹣1

    a的取值范围在数轴上表示正确的是

    故选:C

    点评:此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点,以及各象限内点的坐标符号,关键是判断出P点所在象限.

     

    7.(3分)(2015庆阳)在ABC中,若角AB满足|cosA|+1tanB2=0,则C的大小是(  )

        A45°                 B                             60° C                       75° D   105°

    考点:特殊角的三角函数值;非负数的性质:绝对值;非负数的性质:偶次方..

    分析:根据非负数的性质得出cosA=tanB=1,求出AB的度数,继而可求得C的度数.

    解答:解:由题意得,cosA=tanB=1

    A=30°B=45°

    C=180°30°45°=105°

    故选D

    点评:本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.

     

    8.(3分)(2015庆阳)书架上有3本小说、2本散文,从中随机抽取2本都是小说的概率是(  )

        A                  B                               C                         D  

    考点:列表法与树状图法..

    分析:首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与随机抽取2本都是小说的情况,再利用概率公式即可求得答案.

    解答:解:设三本小说分别为红、红、红、两本散文分别为白、白,

    画树状图得:

    共有20种等可能的结果,从中随机抽取2本都是6种情况,

    从中随机抽取2本都是小说的概率=

    故选A

    点评:此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

     

    9.(3分)(2015庆阳)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A30),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是(  )

        Ab24ac           B                             ac0                          C   2ab=0  D ab+c=0

    考点:二次函数图象与系数的关系..

    分析:根据抛物线与x轴有两个交点有b24ac0可对A进行判断;由抛物线开口向上得a0,由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c0,则可对B进行判断;根据抛物线的对称性是x=1C选项进行判断;根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为(﹣10),所以ab+c=0,则可对D选项进行判断.

    解答:解:抛物线与x轴有两个交点,

    b24ac0,即b24ac,所以A选项错误;

    抛物线开口向上,

    a0

    抛物线与y轴的交点在x轴下方,

    c0

    ac0,所以B选项错误;

    二次函数图象的对称轴是直线x=1

    =12a+b=0,所以C选项错误;

    抛物线过点A30),二次函数图象的对称轴是x=1

    抛物线与x轴的另一个交点为(﹣10),

    ab+c=0,所以D选项正确;

    故选:D

    点评:本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+ca0)的图象为抛物线,当a0,抛物线开口向上;对称轴为直线x=;抛物线与y轴的交点坐标为(0c);当b24ac0,抛物线与x轴有两个交点;当b24ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b24ac0,抛物线与x轴没有交点.

     

    10.(3分)(2015庆阳)如图,在ABC中,两条中线BECD相交于点O,则SDOESDCE=(  )

        A14                B                             13                            C   12       D 23

    考点:相似三角形的判定与性质;三角形中位线定理..

    分析:先根据题意判断出DEABC的中位线,故可得出ODE∽△OCB,由此可得出=,进而可得出结论.

    解答:解:ABC中,两条中线BECD相交于点O

    DEABC的中位线,

    ∴△ODE∽△OCB

    =

    =

    ∵△DOEDCE等高,

    SDOESDCE=ODCD=13

    故选B

    点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质,先根据题意得出DEABC的中位线是解答此题的关键.

     

    11.(3分)(2015庆阳)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是(  )

        A    B     C     D

    考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象..

    分析:根据二次函数的图象的性质先确定出abc的取值范围,然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断.

    解答:解:抛物线开口向下,

    a0

    抛物线的对称轴由于y轴的左侧;

    ab同号,

    b0

    抛物线经过原点,所以c=0

    b0c=0

    直线y=bx+c经过二、四象限和坐标原点.

    b0

    反比例函数的图象,位于二、四象限.

    故选:A

    点评:本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质,掌握相关性质是解题的关键.

     

    12.(3分)(2015庆阳)在如图所示的平面直角坐标系中,OA1B1是边长为2的等边三角形,作B2A2B1OA1B1关于点B1成中心对称,再作B2A3B3B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则B2nA2n+1B2n+1n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(  )

        A                       4n1          B                             2n1     C 4n+1     D      2n+1

    考点:坐标与图形变化-旋转..

    专题:规律型.

    分析:首先根据OA1B1是边长为2的等边三角形,可得A1的坐标为(1),B1的坐标为(20);然后根据中心对称的性质,分别求出点A2A3A4的坐标各是多少;最后总结出An的坐标的规律,求出A2n+1的坐标是多少即可.

    解答:解:∵△OA1B1是边长为2的等边三角形,

    A1的坐标为(1),B1的坐标为(20),

    ∵△B2A2B1OA1B1关于点B1成中心对称,

    A2与点A1关于点B1成中心对称,

    2×21=32×0=

    A2的坐标是(3,﹣),

    ∵△B2A3B3B2A2B1关于点B2成中心对称,

    A3与点A2关于点B2成中心对称,

    2×43=52×0﹣(﹣=

    A3的坐标是(5),

    ∵△B3A4B4B3A3B2关于点B3成中心对称,

    A4与点A3关于点B3成中心对称,

    2×65=72×0=

    A4的坐标是(7,﹣),

    1=2×113=2×215=2×317=2×31

    An的横坐标是2n1A2n+1的横坐标是22n+1)﹣1=4n+1

    n为奇数时,An的纵坐标是,当n为偶数时,An的纵坐标是﹣

    顶点A2n+1的纵坐标是

    ∴△B2nA2n+1B2n+1n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(4n+1).

    故选:C

    点评:此题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转问题,要熟练掌握,解答此题的关键是分别判断出An的横坐标、纵坐标各是多少.

     

    二、填空题(本题包括8小题,每小题3分,共24分)

    13.(3分)(2015庆阳)函数y=的自变量x的取值范围是 xx0 

    考点:函数自变量的取值范围..

    专题:计算题.

    分析:根据分母不为零和被开方数不小于零得到x012x0,然后求出两不等式的公共解即可.

    解答:解:根据题意得x012x0

    所以xx0

    故答案为

    点评:本题考查了函数自变量的取值范围:自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义,当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零;当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.

     

    14.(3分)(2015庆阳)的平方根是 ±2 

    考点:平方根;算术平方根..

    分析:根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.

    解答:解:的平方根是±2

    故答案为:±2

    点评:本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.

     

    15.(3分)(2015庆阳)如图,RtABC中,ACB=90°AC=BC=2,若把RtABC绕边AB所在直线旋转一周,则所得几何体的表面积为 8π (结果保留π).

    考点:圆锥的计算;点、线、面、体..

    分析:首先求得高CD的长,然后根据圆锥的侧面积的计算方法,即可求解.

    解答:解:过点CCDAB于点D

    RtABC中,ACB=90°AC=BC

    AB=AC=4

    CD=2

    CD为半径的圆的周长是:4π

    故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是:2××4π×2=8π

    故答案为:8π

    点评:此题主要考查了圆锥的有关计算,正确确定旋转后的图形得出以CD为半径的圆的弧长是解题的关键.

     

    16.(3分)(2015庆阳)若﹣2xmny23x4y2m+n是同类项,则m3n的立方根是 2 

    考点:立方根;合并同类项;解二元一次方程组..

    专题:计算题.

    分析:根据同类项的定义可以得到mn的值,继而求出m3n的立方根.

    解答:解:若﹣2xmny23x4y2m+n是同类项,

    解方程得:

    m3n=23×(﹣2=8

    8的立方根是2

    故答案为:2

    点评:本题考查了同类项的概念以及立方根的求法,解体的关键是根据定义求出对应mn的值.

     

    17.(3分)(2015庆阳)有六张完全相同的卡片,其正面分别标有数字:﹣2π03.,将它们背面朝上洗匀后,从中随机抽取一张卡片,则其正面的数字为无理数的概率是  

    考点:概率公式;无理数..

    专题:计算题.

    分析:判断六张卡片中无理数的个数,即可得到结果.

    解答:解:在﹣2π03.中,无理数有π2个,

    则从中随机抽取一张卡片,则其正面的数字为无理数的概率是=

    故答案为:

    点评:此题考查了概率公式,以及无理数,熟练掌握无理数的定义是解本题的关键.

     

    18.(3分)(2015庆阳)如图,定点A(﹣20),动点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为 (﹣1,﹣1) 

    考点:一次函数图象上点的坐标特征;垂线段最短..

    分析:过AAD直线y=x,过DDEx轴于E,即当B点和D点重合时,线段AB的长最短,求出DOA=OAD=EDO=EDA=45°OA=2,求出OE=DE=1,求出D的坐标即可.

    解答:解:过AAD直线y=x,过DDEx轴于E

    DOA=OAD=EDO=EDA=45°

    A(﹣20),

    OA=2

    OE=DE=1

    D的坐标为(﹣1,﹣1),

    即动点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为(﹣1,﹣1),

    故答案为:(﹣1,﹣1).

    点评:本题考查了等腰直角三角形,垂线段最短,坐标与图形性质的应用,解此题的关键求出符合条件的点的位置.

     

    19.(3分)(2015庆阳)已知三条不同的直线abc在同一平面内,下列四条命题:

    如果abac,那么bc如果baca,那么bc

    如果baca,那么bc如果baca,那么bc

    其中真命题的是 ①②④ .(填写所有真命题的序号)

    考点:命题与定理;平行线的判定与性质..

    专题:推理填空题.

    分析:分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案.

    解答:解:如果abac,那么bc是真命题,故正确;

    如果baca,那么bc是真命题,故正确;

    如果baca,那么bc是假命题,故错误;

    如果baca,那么bc是真命题,故正确.

    故答案为:①②④

    点评:本题主要考查了命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题,难度适中.

     

    20.(3分)(2015庆阳)在底面直径为2cm,高为3cm的圆柱体侧面上,用一条无弹性的丝带从AC按如图所示的圈数缠绕,则丝带的最短长度为  cm.(结果保留π

    考点:平面展开-最短路径问题..

    分析:根据绕两圈到C,则展开后相当于求出直角三角形ACB的斜边长,并且AB的长为圆柱的底面圆的周长,BC的长为圆柱的高,根据勾股定理求出即可.

    解答:解:如图所示,

    无弹性的丝带从AC

    展开后AB=2πcmBC=3cm

    由勾股定理得:AC==cm

    故答案为:

    点评:本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用,能正确画出图形是解此题的关键,用了数形结合思想.

     

    三、解答题(本题包括9小题,共90分)

    21.(8分)(2015庆阳)计算:(20+1+4cos30°||

    考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值..

    专题:计算题.

    分析:原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负指数幂法则计算,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用绝对值的代数意义化简,计算即可得到结果.

    解答:解:原式=1+3+4×2

    =4

    点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

     

    22.(8分)(2015庆阳)如图,在ABC中,C=60°A=40°

    1)用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明);

    2)求证:BD平分CBA

    考点:作图基本作图;线段垂直平分线的性质..

    分析:(1)分别以AB两点为圆心,以大于AB长度为半径画弧,在AB两边分别相交于两点,然后过这两点作直线即为AB的垂直平分线;

    2)根据线段垂直平分线的性质和三角形的内角和证明即可.

    解答:解:(1)如图1所示:

    2)连接BD,如图2所示:

    ∵∠C=60°A=40°

    ∴∠CBA=80°

    DEAB的垂直平分线,

    ∴∠A=DBA=40°

    ∴∠DBA=CBA

    BD平分CBA

    点评:本题考查了线段的垂直平分线的性质及三角形的内角和及基本作图,解题的关键是了解垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.

     

    23.(8分)(2015庆阳)已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m1=0有两个相等的实数根.

    1)求m的值;

    2)解原方程.

    考点:根的判别式..

    分析:(1)根据题意得到:=0,由此列出关于m的方程并解答;

    2)利用直接开平方法解方程.

    解答:解:(1关于x的一元二次方程mx2+mx+m1=0有两个相等的实数根,

    ∴△=m24×m×m1=0,且m0

    解得m=2

    2)由(1)知,m=2,则该方程为:x2+2x+1=0

    即(x+12=0

    解得x1=x2=1

    点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a0)的根的判别式=b24ac:当0,方程有两个不相等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当0,方程没有实数根.

     

    24.(10分)(2015庆阳)现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等,视力日渐减退,某市为了解学生的视力变化情况,从全市九年级随机抽取了1500名学生,统计了每个人连续三年视力检查的结果,根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图,并对视力下降的主要因素进行调查,制成扇形统计图.

    解答下列问题:

    1)图中D所在扇形的圆心角度数为 54° 

    2)若2015年全市共有30000名九年级学生,请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名?

    3)根据扇形统计图信息,你觉得中学生应该如何保护视力?

    考点:折线统计图;用样本估计总体;扇形统计图..

    专题:计算题.

    分析:(1)根据扇形统计图中的数据求出D占的百分比,乘以360即可得到结果;

    2)根据样本中视力在4.9以下的人数占的百分比,乘以30000即可得到结果;

    3)由扇形统计图中影响视力的因素,提出合理化建议即可.

    解答:解:(1)根据题意得:360°×140%25%20%=54°

    故答案为:54°

    2)根据题意得:30000×=16000(名),

    则估计视力在4.9以下的学生约有16000名;

    3)建议中学生应少看电视,少玩游戏,少看手机,才能保护视力.

    点评:此题考查了折线统计图,扇形统计图,以及用样本估计总体,弄清题中统计图中的数据是解本题的关键.

     

    25.(10分)(2015庆阳)如图,在正方形ABCD中,点E是边BC的中点,直线EF交正方形外角的平分线于点F,交DC于点G,且AEEF

    1)当AB=2时,求GEC的面积;

    2)求证:AE=EF

    考点:全等三角形的判定与性质;正方形的性质..

    分析:(1)首先根据ABE∽△ECG得到ABEC=BEGC,从而求得GC=即可求得SGEC

    2)取AB的中点H,连接EH,根据已知及正方形的性质利用ASA判定AHE≌△ECF,从而得到AE=EF

    解答:解:(1AB=BC=2,点EBC的中点,

    BE=EC=1

    AEEF

    ∴△ABE∽△ECG

    ABEC=BEGC

    即:21=1GC

    解得:GC=

    SGEC=ECCG=×1×=

    2)证明:取AB的中点H,连接EH

    ABCD是正方形,

    AEEF

    ∴∠1+AEB=90°

    2+AEB=90°

    ∴∠1=2

    BH=BEBHE=45°

    FCG=45°

    ∴∠AHE=ECF=135°AH=CE

    ∴△AHE≌△ECF

    AE=EF

    点评:此题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质,解(2)题的关键是取AB的中点H,得出AH=EC,再根据全等三角形的判定得出AHE≌△ECF

     

    26.(10分)(2015庆阳)某体育用品专卖店销售7个篮球和9个排球的总利润为355元,销售10个篮球和20个排球的总利润为650元.

    1)求每个篮球和每个排球的销售利润;

    2)已知每个篮球的进价为200元,每个排球的进价为160元,若该专卖店计划用不超过17400元购进篮球和排球共100个,且要求篮球数量不少于排球数量的一半,请你为专卖店设计符合要求的进货方案.

    考点:一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用..

    分析:(1)设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元,y元,根据题意得到方程组;即可解得结果;

    2)设购进篮球m个,排球(100m)个,根据题意得不等式组即可得到结果.

    解答:解:(1)设每个篮球和每个排球的销售利润分别为x元,y元,

    根据题意得:

    解得:

    答:每个篮球和每个排球的销售利润分别为25元,20元;

    2)设购进篮球m个,排球(100m)个,

    根据题意得:

    解得:m35

    m=34m=35

    购进篮球34个排球66个,或购进篮球35个排球65个两种购买方案.

    点评:本题考查了一元一次不等式的应用,二元一次方程组的应用,找准数量关系是解题的关键.

     

    27.(12分)(2015庆阳)定义运算max{ab}:当ab时,max{ab}=a;当ab时,max{ab}=b.如max{32}=2

    1max{3}= 3 

    2)已知y1=y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示,若max{k2x+b}=,结合图象,直接写出x的取值范围;

    3)用分类讨论的方法,求max{2x+1x2}的值.

    考点:反比例函数与一次函数的交点问题..

    专题:新定义.

    分析:(1)根据3和已知求出即可;

    2)根据题意得出k2x+b,结合图象求出即可;

    3)分为两种情况:当2x+1x2时,当2x+1x2时,结合已知求出即可.

    解答:解:(1max{3}=3

    故答案为:3

    2max{k2x+b}=

    k2x+b

    从图象可知:x的取值范围为﹣3x0x2

    3)当2x+1x2时,max{2x+1x2}=2x+1

    2x+1x2时,max{2x+1x2}=x2

    点评:本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用,能读懂题意是解此题的关键.

     

    28.(12分)(2015庆阳)如图,在ABC中,AB=AC,以AC为直径作OBC于点D,过点DO的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F

    1)求证:FEAB

    2)当EF=6=时,求DE的长.

    考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质..

    分析:(1)连接ADOD,根据直径所对的圆周角是直角求出ADC=90°,根据等腰三角形的性质证明DBC的中点,得到ODABC的中位线,根据切线的性质证明结论;

    2)根据平行线分线段成比例定理,列出比例式计算得到答案.

    解答:(1)证明:连接ADOD

    ACO的直径,

    ∴∠ADC=90°

    AB=AC

    CD=DB,又CO=AO

    ODAB

    FDO的切线,

    ODEF

    FEAB

    2=

    =

    ODAB

    ==,又EF=6

    DE=9

    点评:本题考查的是切线的性质和平行线分线段成比例定理,掌握圆的切线垂直于过切点的半径和等腰三角形的三线合一是解题的关键.

     

    29.(12分)(2015庆阳)如图,在平面直角坐标系中.顶点为(﹣4,﹣1)的抛物线交y轴于点A03),交x轴于BC两点.

    1)求此抛物线的解析式;

    2)已知点P是抛物线上位于BC两点之间的一个动点,问:当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?并求出此时四边形ABPC的面积.

    3)过点BAB的垂线交抛物线于点D,是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由.

    考点:二次函数综合题..

    分析:(1)利用待定系数法求函数的解析式即可;

    2)由题意可知当P点移动到抛物线的顶点是PBC的面积最大,根据四边形ABPC的面积的最大值为:SABC+SPBC求得即可;

    3)已知ABD是直角,若连接圆心和切点(暂定为E),不难看出RtOABRtEBC相似,可据此求出C的半径,再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可.

    解答:解:(1)根据题意,可设抛物线的解析式为y=ax+421

    把点A03)代入得:3=16a1

    解得a=

    所以此抛物线的解析式为y=x+421

    2)令y=0,则0=x+421

    解得x1=2x2=6

    B(﹣20),C(﹣60),

    BC=4

    S四边形ABPC=SABC+SPBCSABC=BCOA=×4×3=6

    要使四边形ABPC的面积最大,则PBC的面积最大,

    P点移动到抛物线的顶点是PBC的面积最大,

    四边形ABPC的面积的最大值为:SABC+SPBC=6+×4×1=6+2=8

    3)如图,设CBD相切于点E,连接CE,则BEC=AOB=90°

    A03)、B(﹣20)、C(﹣60),

    OA=3OB=2OC=6BC=4

    AB==

    ABBD

    ∴∠ABC=EBC+90°=OAB+90°

    ∴∠EBC=OAB

    ∴△OAB∽△EBC

    =,即=

    EC=

    设抛物线对称轴交x轴于F

    抛物线的对称轴x=4

    CF=2

    不存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆.

    点评:此题是二次函数的综合题,主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知识点.

     



      
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