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  • 试题:

    2015年兰州市初中毕业生学业考试

    学(A

    解析者:浙江省杭州市余杭区临平一中 朱兵

    一、选择题(本题有15小题,每小题4分,共60分)

      C

    【考点解剖】本题考查的是二次函数的概念

    【解答过程】所谓二次函数,是指形如的函数,其中都是常数,且

    首先,二次函数必须是整式函数,因此D就被排除;

    其次,函数的形式,那么它的最高次项是二次,并且由,就保证了它一定要含有二次项,所以A也被排除;

    再来看BC的区别:仅从形式上看,似乎没什么区别,但由于二次函数必须要求,也就是说二次项系数必须不能为0,而这一点上,B选项是没有保证的,所以B选项也不对。这样,只剩下C

    【易错点津】主要看二次项系数是确定的具体的数,还是含有字母的一般的数

    【归纳拓展】如函数或方程,在没有明确给出字母的取值范围之前,它们未必是关于的二次函数或二次方程

    【题目星级】★★

      B

    【考点解剖】本题考查了三视图的相关知识,以及考生的空间概念能力

    【解答过程】就本题而言,其三视图如图

    那么容易得知只能是选项B

    【题目星级】★★

      A

    【考点解剖】本题考查了二次函数的图象和性质的相关知识

    【思路点拔】如果将二次函数改写为顶点式:,那么其顶点为

    ),对称轴为直线(也有一些教科书将顶点式表示为的形式,那么其顶点就是(),对称轴为直线

    【解答过程】这四个函数中,对称轴分别是ABCD,所以只能是选项A

    【解题策略】在涉及到二次函数的对称轴问题时,可以将函数改写为顶点式的形式,那么只要令,其对称轴就便可求之。

    【题目星级】★★★

      D

    【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义

    【思路点拔】直角三角形中,某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比

    【解答过程】RtABC中,AC2=AB2+BC2= AB2+(2AB)2=5 AB2

    AC=AB,则cosA=,选D

    【解题策略】一般地说,在涉及到某个锐角的三角函数值时,只要将之放到直角三角形中去,那么问题往往不难解决。

    在直角三角形中,我们将夹角α的那条直角边称为邻边,角α所对的那条边称为对边,那么角阿尔法的各三角函数值分别为

    如果原题没有图,那么可以自己在草稿纸上画一个示意图;如果是在斜三角形中,那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来,将问题转化到直角三角形中去解决。

    【题目星级】★★

      B

    【考点解剖】本题考查了坐标和相似的有关知识

    【思路点拔】根据题意:AO:CO=BO:DO=5:2,而位似中心恰好是坐标原点O,所以点A的横、纵坐标都是点C横、纵坐标的2.5倍,因此选B

    【题目星级】★★★

      C

    【考点解剖】本题考查的是等式的基本性质,以及乘法公式中的相关知识。

    【知识准备】完全平方公式:

    【解答过程】将各选项左边展开,并整理成一般式:

    A

    B

    C

    D

    因此正确选项为C

    【思维模式】此类题的关键在于配方

    【一题多解】由于在配方过程中,需要在方程的两边加上相同的一个数;而我们在解方程过程中经常需要用到的“移项”,其实际上也是在方程两边都加上相等的东西,因此,无论方程如何变形,两边增减的“量”都是相等的,所以本题亦可采用如下方式进行:

    在原方程中,取,此时,左边=-1,右边=0

    在各选择支中,如果变形是正确的话,左边应该始终比右边的值小1,在时,

    A=16A=17       B=16B=15,则(B被排除)

    C=16C=17       D=16D=15,则

    现在留下AC两个选项,难道两个都是正确的吗?当然不是。

    我们再换一个的值试试:取,那么原式左边=-8,原式右边=0

    也就是说:在同样的条件下,如果是正确的变形,那么一定是满足左边=右边-8,反之,如果不满足这一条件,那么就一定是错的。

    时,A=25A-8,所以

    这里需要提醒注意的是:这样的方法只能用来排除错误,不能保证正确。

    如在本题中,当时,虽然也有C=C-8,但不能就此判言C为正确,但因为ABD都已被排除,所以唯一留下的C选项必为对的。

    再啰嗦一句:上面介绍的“特殊值法”,在本题中其实反而显得很笨拙,但如果换个场合,有可能是一个高效、灵活的解题方法。

    【题目星级】★★

      D

    【考点解剖】本题考查特殊平行四边形的性质和判定

    【解答过程】略

    【题目星级】★★★

      A

    【考点解剖】本题考查一次函数、反比例函数的图象和性质

    【知识准备】一次函数的图象是一条直线,当时,这条直线从左到右是上升的;反之,它是下降的;

    反比例函数的图象是双曲线,当时,其图象分别位于第一、三两个象限,并且在每个象限(注意:仅仅是在该象限之内),图象上的点越来越低(从左到右);反之,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每个象限内图象位置越来越高。

    【解答过程】观察A:从直线的方向向下(从左到右),说明其中的;再看双曲线,位于二、四象限,那么其比例系数,这样分析并没有看出什么不妥,但是我们也不宜急于下结论就说A是正确选项,因为或许还有哪个地方没有被我们注意到呢?

    观察B:从直线形态来看,应该有,但是从双曲线的形态来说,又应该是,这里是矛盾的,所以

    同样道理,C也是错误的;

    再看D:无论是直线还是双曲线,都满足,这里并没有看出什么矛盾。

    那么问题来了:AD,到底哪个才是正确的选项?

    当我们感到山重水复时,如果再静下心来重新读题,很有可能会有新的发现,从而寻找到一条通向柳暗花明之路。

    在一次函数中,如果我们将表达式改写为,那么就会发现:无论取什么值,当时,其函数值都为0,换句话说:该直线一定通过(10)。

    从这一点分析,D当然就不符合这样的特征,所以D又被排除了,那么只能选A

    【题目星级】★★★★

      B

    【考点解剖】本题考查了圆周角的相关知识点以及平面直角坐标系的概念

    【知识准备】在同一个圆(或等圆)中,同弧(或等弧)所对的圆周角相等;直径所对的圆周角是直角;当圆周角为直角时,其所对的弦是直径。

    【解答过程】ACBAOB都是P中同一条弧所对的圆周角,所以它们相等

    【归纳拓展】在其它类似题目中,我们有可能需要区分优弧和劣弧的不同;再换一种场合,如果连结AB,还有可能需要说明AB是直径,或者点PAB上。

    【题目星级】★★

      B

    【考点解剖】本题考查了菱形和正三角形的性质中的相关知识点

    【知识准备】菱形的四条边相等,对角相等,对角线互相垂直平分;等腰三角形底边上的高线平分底边和顶角。

    【思路点拔】由菱形的性质以及现有条件,可得△AEF是正三角形,而正三角形的面积等于边长的平方的

    【解答过程】连结ACBD,并记它们的交点为G,则有ACBD,且AG=CGBG=CG

    ABC中,AB=CBABC=60°,所以△ABC是正三角形,

    正三角形△ABC中,AEBG是中线,也是高线,可求得AE=BG=AB=

    BCD中,因为EF分别是BCCD的中点,所以EFBD,且EF=BD= BG=

    ACEF的交点H,因为EFBDACBD,所以AHEF

    且由相似形的性质,可得CH=CG=AC=1,则AH=AC-CH=4-1=3

    【题目星级】★★★★

      B

    【考点解剖】本题考查了增长率的概念和方程的基本性质

    【知识准备】所谓某个量,它增长了,意味着增长部分是,那么它就由原来的,增长到了(),也就是

    【思路点拔】我们可以将整个原价假设为1(如果你觉得不放心,也可以假设为等与现有字母不冲突的任何字母),那么跌停后的价格就是0.9

    之后两天中的第一天,是在0.9的基础上增加了,那么就是到了

    接下去要注意的是:虽然第二天增长率同样为,但是起步价变了,已经不是0.9,而是前一天收市之后的,它是在的基础上增加到倍(请注意增加增加到的区别),因此,现在的股价是,也就是

    【解答过程】跌停后,股价为0.9,连续两天按照的增长率增长后,股价为,根据题意,得方程,那么正确选项为B

    【易错点津】首先必须要分清楚增加(或减少)的这一部分的量和原来的基础“1”有没有关系?其次,这个基础“1”前后是否发生了变化。

    【题目星级】★★★

      D

    【考点解剖】本题考查反比例函数的图象和性质,以及坐标系中的相关知识点。

    【思路点拔】反比例函数的图象关于原点对称,既然,那么必有,所以选D

    【题目星级】★★★

      A

    【考点解剖】本题考查的是坐标系以及函数的图象的相关知识点

    【知识准备】以自变量的值为横坐标,以对应函数值为纵坐标所确定的点,称为函数图象上的一个点;所有函数图像上的点所构成的集合,称为函数的图象。

    【解答过程】点C坐标为(0c),因为点C轴正半轴上,所以CO=

    由已知,OA=OC,且点A轴负半轴,所以A0),

    A0)在抛物线上,则,即

    因为(否则点C在原点),所以,即,所以选A

    【题目星级】★★★★

      C

    【考点解剖】本题考查二次函数的图象和性质、直角坐标系中的相关知识点

    【知识准备】二次函数的对称轴为直线

    【解答过程】的图象是一条开口向上,对称轴为的抛物线,

    P)在抛物线上,由图知:当点P轴上方()时,对应部分图形在直线左侧,或者直线右侧。此时,对应的的值(即的值)为,或,所以

    A选项的“当时,”,说的是“当点P轴下方时,它位于轴的左侧”,由图可以看出:而这一点未必正确,因为点P也可能在轴的右侧,所以

    由图我们看到:由于抛物线开口向上,且与轴的交于点A和点B,那么抛物线上位于AB两点之间部分在轴下方;翻过来,当图象居于轴下方时,对应的点必定在直线和直线之间,也就是说:当时,,所以选C

    【题目星级】★★★★

      A

    【考点解剖】本题考查的是矩形性质,弧长的计算

    【知识准备】矩形的对角线相等,且互相平分;半径为,圆心角为的弧的长度为

    【解答过程】连结OP,由矩形性质知:OP=MN,且它们相交于中点Q

    则当点P沿着圆周转过45°时,点Q在以O为圆心,以OQ=1为半径的圆周上转过45°,因此只要求出以1为半径,45°圆心角所对弧的长便可。

    弧长计算公式忘记了怎么办?没关系,临时推导一下就行:整个圆的周长是,那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额:,即

    【题目星级】★★★★

    二、填空题(本题有5小题,每小题4分,共20分)

      2015

    【考点解剖】本题考查了方程的解的概念

    【知识准备】能使方程两边的值相等的未知数的值,称为方程的解。

    【解答过程】因为是方程的解,所以

    ,所以

    【题目星级】★★

      3

    【考点解剖】本题考查比例的基本性质

    【解答过程】因为,且,所以

    ,即,所以

    【一题多解】因为,所以

    ,即

    因为,所以

    【题目星级】★★★

      10

    【考点解剖】本题考查概率和频率

    【知识准备】当独立随机实验的次数足够大时,某现象发生的频率总在概率附近波动

    【解答过程】由列表知:摸出黑球的频率约为0.500,所以所有小球的数量约10

    【题目星级】★★

      S1=S2

    【考点解剖】本题考查的是反比例函数的图象,图形的面积变换,平面直角坐标系

    【知识准备】坐标平面内点P)到轴和轴的距离分别是

    ,等底等高的两个三角形面积相等

    【思路点拔】如果点B和点M在原点处,那么我们很容易知道这两个三角形面积是相等的,

    但现在这两个三角形都在半途,我们自然想到如何将之与△APO和△QNO联系?

    画出图形后,我们发现:只要能说明SPBO=SQMO,那么问题便可解决。

    【解答过程】分别连结POQO,设P)则有

    因为点P图象上,所以,则,同样:

    所以

    连结BM,因为BQ轴,PM轴,则有

    所以

    因为,所以

    S1=S2

    【题目星级】★★★★

    【思维模式】碰到新情况,我们要想办法如何将问题向我们熟知的场景转化

      30°

    【考点解剖】本题考查同(等)弧所对圆周角和圆心角的关系,正三角形的性质

    【知识准备】在同圆或等圆中,圆周角等于同弧(等弧)所对圆心角的一半,

    在同一个三角形中相等的边所对的角也相等。

    【思路点拔】BC=半径,那么BC与对应的两条半径所构成的三角形就是等边三角形,这样,自然就将构造出的圆心角与目标中的圆周角建立起了联系。

    【解答过程】分别连结OBOC,因为BC=OB=OC,所以O=60°,

    则在O中,A=B=30°.

    【题目星级】★★

    三、解答题(本题有8小题,共70分。解答写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

    【考点解剖】本题考查特殊角的三角函数值和实数的运算

    【解答过程】原式=

    【题目星级】★★

    【考点解剖】本题考查一元二次方程的解法

    【解答过程】

    所以,

    【题目星级】★★★

    【考点解剖】本题考查线段垂直平分线的性质,角平分线的性质,基本作图

    【知识准备】角平分线上的点到角两边的距离相等,

    线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等

    【思路点拔】MNP的弦,那么圆心P到弦的两个端点的距离相等,所以圆心P在线段MN的垂直平分线上;

    圆心PAOB两边的距离相等,则PAOB的角平分线上,

    所以,圆心P在线段MN的垂直平分线和AOB的角平分线的交点。

    【解答过程】作线段MN的垂直平分线

    AOB的角平分线,并记之与的交点为P

    P为圆心,PM为半径作圆,则P为所求图形。

    【易错点津】无论是否要求写出作图过程,千万不要漏写结论

    在书写结论时,一定要写明哪个图形是所求作的图形,是哪一条线段?还是哪个角?或者是哪个点等,千万不要笼统地说“如图为所求图形”。

    例如在本题中,所求的图形是一个圆,那么结论就应该很明确地说“P为所求图形”。

    【题目星级】★★★★

    【考点解剖】本题考查树状图的画法

    【解答过程】(1)三次传球所有可能的情况如图:

    2)由图知:三次传球后,球回到甲的概率为P(甲)=,即

    3)由图知:三次传球后,球回到乙的概率为P(乙)=

    P(乙)>P(甲),所以是传到乙脚下的概率要大。

    【题目星级】★★

    【考点解剖】本题考查投影和相似的相关知识点

    【知识准备】太阳光照射下的投影是平行投影;

    相似图形对应边的比等于它们的相似比;

    矩形对边相等。

    【思路点拔】假若影子完全落在地面上,那么根据两个三角形相似,很容易就可以求出答案;

    现在既然是落在墙上的投影影响我们的解题,很容易就想到如何消除墙上影子的影响?自然而然地,就想到了只要过墙上影子的顶端,作地平线的平行线,这样问题就可以解决了。

    【解答过程】分别作EMABGNCD,垂足分别是MN,则有△AEMCGNMB=EF=2ME=BF=10ND=GH=3NG=DH=5

    所以,AM=AB-MB=10-2=8CN=CD-ND=CD-3

    CGNAEM ,   CD=7

    【题目星级】★★★

    25.(本小题满分9分)如图,四边形ABCDABCDABCDBD=AC

    1)求证:AD=BC

    2)若EFFH分别是ABCDACBD的中点,

    求证:线段EF与线段GH互相垂直平分。

    【考点解剖】本题考查特殊四边形的性质,和等腰三角形性质中的相关知识点。

    【知识准备】在同一个三角形中,相等的边所对的角相等;

    平行四边形对边相等

    【思路点拔】(1)要说明AD=BC,只要能说明△ACDBDC

    现已有AC=BDCD=DC,那么关键是如何说明1=2

    这里需要注意的是:由AC=BD,并不能直接得出结论1=2,因为ACBD并非同一个三角形中的元素。

    能否以某一角为媒介,使得12都与之相等?

    结合已知条件中的AC=BD,如果能够构造出以ACBD为其中两边的三角形,那么它们所对的角自然相等。

    为此,可将AC平移,使点A到点B位置(如图),那么有2=K,而∠K=1,则有∠2=1,问题得以解决;

    2)要说明线段EF与线段GH互相垂直平分,只要能说明线段EFGH是菱形的两条对角线即可。

    【解答过程】(1)延长DCK,使CK=ABABCK四边形ABKC是平行四边形,

    则在ABKC中,有ACBK∴∠1=K

    BD=ACAC=BK,∴BD=BK,则有∠2=K

    ∵∠2=K1=K,∴∠1=2

    ACD和△BDC中,  ACDBDCSAS),

    AD=BC

    2)分别连结EHHFFGGE

    EH分别是ABDB的中点, EHAD

    同理:GFADEGBCHFBC

    AD=BC,∴EH=HF=FG=GE  ∴四边形EHFG是菱形,

    EFGH互相垂直平分(菱形的对角线互相垂直平分)。

    【题目星级】★★★★

    【解题策略】很多时候,在直接说明某两个量相等(如本题中需证明1=2)有困难时,我们往往可以寻找第三方媒介,分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等,从而达到说明两个目标量相等的目的。

    例如证明本题中的1=2,以及本卷第19题中的,或者S1=S2

    【考点解剖】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质,直角坐标系,三角形面积,数形结合思想

    【知识准备】三角形面积=底边长×高线长,

    某一点在某函数的图象上,那么意味着当自变量取值该点的横坐标时,该函数的函数值为该点的纵坐标。因此,从图象上我们可以看出:点的位置越往右,对应的的值就越大;点的位置越往上,对应的函数值就越大。

    【思路点拔】(1)所谓的,也就是,说明对于同样的直线上的点必须在双曲线的上方,

    从图中我们可以看到:在第二象限,只有线段AB(不包括两个端点)才居于双曲线的上方,而点AB的坐标均为已知;

    3)△PCA和△PDB的面积,均随着点P位置的改变而改变,

    而其中ACBD都是固定的,所以只要确定了点P,这两三角形的面积也就随之确定,

    既然点P在直线AB上,在解决了(2)之后,点P的横坐标和纵坐标之间的关系也就受到约束,它们之间可以互相用另一个量来表示。

    【解答过程】(1)由图象知:当时,

    2一次函数的图象经过A-4),B-12)两点

    ,求得所求直线为

    函数的图象过B-12), ,则

    所求一次函数为 

    3)设点P),∵点P在线段AB上,∴-4-1

    A-4),B-12),

    AC=BD=1

    分别作点PACBD的垂线段PEPHEH是垂足(如图),

    PE=-4-1),PH=

    P)在直线上,

    PH=

    ,即,则

    P

    【题目星级】★★★★

    【归纳拓展】如果我们将(3)中的“P是线段AB上一点”改为“P是直线AB上一点”,情况会有什么变化?

    从上面解答过程中我们不难知道:当点P的位置不同时,PEPH的表达式也会因点P的位置不同而改变:

    当点P在点A的左下方时,PE=PH=

    此时,根据建立起来的方程无解,也就是没有满足条件的点P存在;

    当点P在点B的右上方时,PE=PH=

    此时,根据建立起来的方程无解,也就是没有满足条件的点P存在;

    【考点解剖】本题考查圆与直线的位置关系,扇形面积计算

    【知识准备】过直径的端点,且与直径垂直的直线是圆的切线

    【思路点拔】(1)我们当然很容易就猜想到BC是⊙O的切线,为此,只要连结OD

    证明ODBC即可;

    2)只要求出△OBD的面积和扇形ODE的面积,那么两者之差便为阴影部分的面积

    【解答过程】(1)连结OD,∵OA=OD,∴∠2=3

    AD平分∠BAC,∴∠1=2 

    而∠2=3,∴∠1=3

    ODAC(内错角相等,两直线平行),

    ∴∠ODB=C=90°(两直线平行,同位角相等)

    ODBC

    BC是⊙O的切线(过直径的一个端点,且与直径垂直的直线是圆的切线);

    2)①过点OAC的垂线段OH,则OHBC,∠AOH=B=30°,

    RtAOHAH=AO·sinAOH=AO·sin30°=AO

    矩形CDOHCH=ODOD=OA

    AC=AH+CH3=AO+AO AO=2O的半径为2

    RtOBD,∠BOD=90°-B=60°,BD=DO·tan60°=

    【题目星级】★★★★

    【解题策略】涉及到非常规图形的面积问题时,我们通常采用的是割补的方法,将问题转化为常规图形的面积问题来解决

    【考点解剖】本题考查函数与图象,平面直角坐标系,韦达定理以及勾股定理等相关知识点

    【知识准备】三角形中,如果有两边的平方和等于第三边的平方,那么该三角形是直角三角形。

    【思路点拔】要说明某三角形是否直角三角形,只要确定是否有两条边的平方和等于第三边的平方

    【解答过程】(1)∵函数的图象经过点(21),则,∴

    ∴所求函数为

    2)①当时,一次函数为

    解方程组

    得两函数图象的交点为A-21),B816),

    分别作点A和点B轴的垂线段AMBN,并作点ABN的垂线段AG

    M-20),N80),G81),

    那么有AM=1BN=16MO=2NO=8AG=10BG=15

    RtABG中,AB2=AG2+BG2=102+152=325,同样的,可求得AO2=5BO2=320

    AOB中,∵AO2+BO2=325= AB2 ∴△AOB是直角三角形;

    ②∵A),B)是抛物线与直线的交点,

    所以(),()是方程组的两个解,

    也就是说:是方程的两个实数解,

    将该方程改写为,则有

    由①的解题过程,我们可以得到:AB2=

    A),B)在直线上,

    ,则

    AB2=

    AB2=

    同样的,AO2=

    BO2=

    AO2+ BO2= []+[]

    =

    AO2+ BO2=

    AO2+ BO2== BO2,∴△AOB是直角三角形

    3无论取什么值,△AOB都是直角三角形。

    【题目星级】★★★★★

    【思维模式】对于结论不确定的问题,首先是需要猜想结论是什么,然后是证实或否定结论。

    如:本卷中第271)题,先是猜想切线,然后就朝着切线的目标去证实;

    再比如本题中的(2)②,我们首先需要猜想△AOB究竟是不是直角三角形,然后再加以证明或否定。



      
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