最新 2012 2011 2010 各省市 中考 语文 数学 英语 物理 化学 政治 历史 地理 生物 试题 试卷尽在中考试题网,做中国最权威的题库网


初中
高中
当前位置: 网站首页 > 2015湖南郴州中考数学试卷 试题及答案
  • 试题:

    2015年湖南省郴州市中考数学试卷

     

    一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)

    1.(3分)(2015郴州)2的相反数是(  )

      A  B  C 2 D 2

     

    2.(3分)(2015郴州)计算(﹣32的结果是(  )

      A 6 B 6 C 9 D 9

     

    3.(3分)(2015郴州)下列计算正确的是(  )

      A x3+x=x4 B x2x3=x5 C x23=x5 D x9÷x3=x3

     

    4.(3分)(2015郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是(  )

      A  B  C  D

     

    5.(3分)(2015郴州)下列图案是轴对称图形的是(  )

      A  B  C  D

     

    6.(3分)(2015郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是921009693969895,则这位同学成绩的中位数和众数分别是(  )

      A 9396 B 9696 C 96100 D 93100

     

    7.(3分)(2015郴州)如图为一次函数y=kx+bk0)的图象,则下列正确的是(  )

      A k0b0 B k0b0 C k0b0 D k0b0

     

    8.(3分)(2015郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将ABD沿对角线BD对折,得到EBDDEBC交于点FADB=30°,则EF=(  )

      A  B 2 C 3 D 3

     

     

    二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)

    9.(3分)(2015郴州)20155月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为      

     

    10.(3分)(2015郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为      cm2

     

    11.(3分)(2015郴州)分解因式:2a22=      

     

    12.(3分)(2015郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是      

     

    13.(3分)(2015郴州)如图,已知直线mm1=100°,则2的度数为      

     

    14.(3分)(2015郴州)如图,已知ABO的直径,点CO上,若CAB=40°,则ABC的度数为      

     

    15.(3分)(2015郴州)在m26m9“□”中任意填上+号,所得的代数式为完全平方式的概率为      

     

    16.(3分)(2015郴州)请观察下列等式的规律:

    =1),=),

    =),=),

    ++++=      

     

     

    三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,2612分,共82分)

    17.(6分)(2015郴州)计算:(120150+||2sin60°

     

    18.(6分)(2015郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.

     

    19.(6分)(2015郴州)如图,已知点A12)是正比例函数y1=kxk0)与反比例函数y2=m0)的一个交点.

    1)求正比例函数及反比例函数的表达式;

    2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1y2

     

    20.(8分)(2015郴州)郴州市某中学校团委开展关爱残疾儿童爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.

    1)这次统计共抽取了      本书籍,扇形统计图中的m=      α的度数是      

    2)请将条形统计图补充完整;

    3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.

     

    21.(8分)(2015郴州)自201412月启动绿茵行动,青春聚力郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.

     

    22.(8分)(2015郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:1.411.73

     

    23.(8分)(2015郴州)如图,ACABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交ADBC于点EF

    1)求证:AOE≌△COF

    2)当EFAC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.

     

    24.(10分)(2015郴州)阅读下面的材料:

    如果函数y=fx)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1x2

    1)若x1x2,都有fx1)<fx2),则称fx)是增函数;

    2)若x1x2,都有fx1)>fx2),则称fx)是增函数.

    例题:证明函数fx=x0)是减函数.

    证明:假设x1x2,且x10x20

    fx1)﹣fx2===

    x1x2,且x10x20

    x2x10x1x20

    0,即fx1)﹣fx2)>0

    fx1)>fx2

    函数fx=x0)是减函数.

    根据以上材料,解答下面的问题:

    1)函数fx=x0),f1==1f2==

    计算:f3=      f4=      ,猜想fx=x0)是      函数(填);

    2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.

     

    25.(10分)(2015郴州)如图,已知抛物线经过点A40),B04),C66).

    1)求抛物线的表达式;

    2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;

    3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的DEFG?(顶点DEFG分别在线段AOOBBCCA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.

     

    26.(12分)(2015郴州)如图,在四边形ABCD中,DCABDAABAD=4cmDC=5cmAB=8cm.如果点PB点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点QA点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:

    1)当t为何值时,PQ两点同时停止运动?

    2)设PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;

    3)当PQB为等腰三角形时,求t的值.

     

     

    2015年湖南省郴州市中考数学试卷

    参考答案与试题解析

     

    一、选择题(共8小题,每小题3分,满分24分)

    1.(3分)(2015郴州)2的相反数是(  )

      A  B  C 2 D 2

    考点: 相反数.菁优网版权所有

    分析: 根据相反数的概念解答即可.

    解答: 解:2的相反数是﹣2

    故选:C

    点评: 本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0

     

    2.(3分)(2015郴州)计算(﹣32的结果是(  )

      A 6 B 6 C 9 D 9

    考点: 有理数的乘方.菁优网版权所有

    分析: 根据有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.

    解答: 解:(﹣32=(﹣3×(﹣3=9

    故选D

    点评: 本题考查有理数的乘方运算,乘方的运算可以利用乘法的运算来进行.负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.

     

    3.(3分)(2015郴州)下列计算正确的是(  )

      A x3+x=x4 B x2x3=x5 C x23=x5 D x9÷x3=x3

    考点: 同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有

    分析: 根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项计算后利用排除法求解.

    解答: 解:Ax3x=x4,故错误;

    B、正确;

    C、(x23=x6,故错误;

    Dx9÷x3=x6,故错误;

    故选:B

    点评: 本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则才能做题.

     

    4.(3分)(2015郴州)下列四个几何体中,它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是(  )

      A  B  C  D

    考点: 简单几何体的三视图.菁优网版权所有

    分析: 分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图,从而得出都是正方体的几何体.

    解答: 解:A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形,符合题意;

    B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆,不符合题意;

    C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形,俯视图是圆和圆中间一点,不符合题意;

    D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆,不符合题意.

    故选A

    点评: 本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力,关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力.

     

    5.(3分)(2015郴州)下列图案是轴对称图形的是(  )

      A  B  C  D

    考点: 轴对称图形.菁优网版权所有

    分析: 根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解.

    解答: 解:A、是轴对称图形,

    B、不是轴对称图形,

    C、不是轴对称图形,

    D、不是轴对称图形,

    故选:A

    点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

     

    6.(3分)(2015郴州)某同学在一次期末测试中,七科的成绩分别是921009693969895,则这位同学成绩的中位数和众数分别是(  )

      A 9396 B 9696 C 96100 D 93100

    考点: 众数;中位数.菁优网版权所有

    分析: 找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个.

    解答: 解:把数据从小到大排列:929395969698100

    位置处于中间的数是:96,故中位数是96

    次数最多的数是96,故众数是96

    故选:B

    点评: 此题主要考查了中位数和众数.一些学生往往对概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项,注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求,如果是偶数个则找中间两位数的平均数.

     

    7.(3分)(2015郴州)如图为一次函数y=kx+bk0)的图象,则下列正确的是(  )

      A k0b0 B k0b0 C k0b0 D k0b0

    考点: 一次函数图象与系数的关系.菁优网版权所有

    专题: 数形结合.

    分析: 根据一次函数经过的象限可得kb的取值.

    解答: 解:一次函数经过二、四象限,

    k0

    一次函数与y轴的交于正半轴,

    b0

    故选C

    点评: 考查一次函数的图象与系数的关系的知识;用到的知识点为:一次函数经过一三象限或二四象限,k0或<0;与y轴交于正半轴,b0,交于负半轴,b0

     

    8.(3分)(2015郴州)如图,在矩形ABCD中,AB=3,将ABD沿对角线BD对折,得到EBDDEBC交于点FADB=30°,则EF=(  )

      A  B 2 C 3 D 3

    考点: 翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有

    分析: 利用翻折变换的性质得出:1=2=30°,进而结合锐角三角函数关系求出FE的长.

    解答: 解:如图所示:由题意可得:1=2=30°,则3=30°

    可得4=5=60°

    AB=DC=BE=3

    tan60°===

    解得:EF=

    故选:A

    点评: 此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系,得出4=5=60°是解题关键.

     

    二、填空题(共8小题,每小题3分,满分24分)

    9.(3分)(2015郴州)20155月在郴州举行的第三届中国(湖南)国际矿物宝石博览会中,成交额高达32亿元,3200000000用科学记数法表示为 3.2×109 

    考点: 科学记数法表示较大的数.菁优网版权所有

    分析: 用科学记数法表示,科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.

    解答: 解:3200000000=3.2×109

    故答案为:3.2×109

    点评: 此题主要考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1|a|10n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

     

    10.(3分)(2015郴州)已知圆锥的底面半径是1cm,母线长为3cm,则该圆锥的侧面积为 3π cm2

    考点: 圆锥的计算.菁优网版权所有

    分析: 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2,把相应数值代入即可求解.

    解答: 解:圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π

    故答案为:3π

    点评: 本题考查了圆锥的计算,解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法,特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长.

     

    11.(3分)(2015郴州)分解因式:2a22= 2a+1)(a1) 

    考点: 提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有

    分析: 先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

    解答: 解:2a22

    =2a21),

    =2a+1)(a1).

    点评: 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.

     

    12.(3分)(2015郴州)函数y=中,自变量x的取值范围是 x2 

    考点: 函数自变量的取值范围;分式有意义的条件.菁优网版权所有

    专题: 计算题.

    分析: 求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,分式有意义的条件是:分母不为0

    解答: 解:要使分式有意义,即:x20

    解得:x2

    故答案为:x2

    点评: 本题主要考查函数自变量的取值范围,考查的知识点为:分式有意义,分母不为0

     

    13.(3分)(2015郴州)如图,已知直线mm1=100°,则2的度数为 80° 

    考点: 平行线的性质.菁优网版权所有

    分析: 根据邻补角定义求出3的度数,再根据平行线的性质求出2的度数即可.

    解答: 解:如图,

    ∵∠1=100°

    ∴∠3=180°100°=80°

    mn

    ∴∠2=3=80°

    故答案为80°

    点评: 本题考查了平行线的性质,找到相应的同位角是解题的关键.

     

    14.(3分)(2015郴州)如图,已知ABO的直径,点CO上,若CAB=40°,则ABC的度数为 50° 

    考点: 圆周角定理.菁优网版权所有

    专题: 计算题.

    分析: 根据圆周角定理得到ACB=90°,然后根据三角形内角和定理计算ABC的度数.

    解答: 解:ABO的直径,

    ∴∠ACB=90°

    ∴∠ABC=90°CAB=90°40°=50°

    故答案为50°

    点评: 本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.

     

    15.(3分)(2015郴州)在m26m9“□”中任意填上+号,所得的代数式为完全平方式的概率为  

    考点: 列表法与树状图法;完全平方式.菁优网版权所有

    专题: 计算题.

    分析: 先画树状图展示所有四种等可能的结果数,再根据完全平方式的定义得到+++能使所得的代数式为完全平方式,然后根据概率公式求解.

    解答: 解:画树状图为:

    共有四种等可能的结果数,其中+++能使所得的代数式为完全平方式,

    所以所得的代数式为完全平方式的概率==

    故答案为

    点评: 本题考查了列表法或树状图法:通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n,再从中选出符合事件AB的结果数目m,然后根据概率公式求出事件AB的概率.也考查了完全平方式.

     

    16.(3分)(2015郴州)请观察下列等式的规律:

    =1),=),

    =),=),

    ++++=  

    考点: 规律型:数字的变化类.菁优网版权所有

    分析: 观察算式可知=)(n为非0自然数),把算式拆分再抵消即可求解.

    解答: 解:++++

    =1++++

    =1++++

    =1

    =×

    =

    故答案为:

    点评: 考查了规律型:数字的变化类,通过观察,分析、归纳并发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力.本题的关键规律为=)(n为非0自然数).

     

    三、解答题(17-19每题6分,20-23每题8分,24-25每题10分,2612分,共82分)

    17.(6分)(2015郴州)计算:(120150+||2sin60°

    考点: 实数的运算;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.菁优网版权所有

    专题: 计算题.

    分析: 原式第一项利用负整数指数幂法则计算,第二项利用零指数幂法则计算,第三项利用绝对值的代数意义化简,第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.

    解答: 解:原式=21+2×=1

    点评: 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

     

    18.(6分)(2015郴州)解不等式组,并把它的解集在数轴上表示出来.

    考点: 解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.菁优网版权所有

    分析: 先求出每个不等式的解集,再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可.

    解答: 解:解不等式得:x

    解不等式得:x>﹣1

    不等式组的解集为﹣1x

    在数轴上表示不等式组的解集为:

    点评: 本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式组的解集的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集,难度适中.

     

    19.(6分)(2015郴州)如图,已知点A12)是正比例函数y1=kxk0)与反比例函数y2=m0)的一个交点.

    1)求正比例函数及反比例函数的表达式;

    2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,y1y2

    考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有

    分析: 1)利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可;

    2)利用函数图象,结合交点左侧时y1y2

    解答: 解:(1)将点A12)代入正比例函数y1=kxk0)与反比例函数y2=m0)得,

    2=km=1×2=2

    y1=2xk0),反比例函数y2=

    2)如图所示:当0x1时,y1y2

    点评: 此题主要考查了一次函数与反比例函数交点,利用数形结合得出是解题关键.

     

    20.(8分)(2015郴州)郴州市某中学校团委开展关爱残疾儿童爱心捐书活动,全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本.为了解各类书籍的分布情况,从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计:A.艺术类;B.文学类;C.科普类;D.其他,并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.

    1)这次统计共抽取了 200 本书籍,扇形统计图中的m= 40 α的度数是 36° 

    2)请将条形统计图补充完整;

    3)估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍.

    考点: 条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.菁优网版权所有

    分析: 1)用A的本数÷A所占的百分比,即可得到抽取的本数;用C的本数÷总本数,即可求得m;计算出D的百分比乘以360°,即可得到圆心角的度数;

    2)计算出B的本数,即可补全条形统计图;

    3)根据文学类书籍的百分比,即可解答.

    解答: 解:(140÷20%=200(本),80÷200=40%×360°=36°

    故答案为:2004036°

    2B的本数为:200408020=60(本),

    如图所示:

    33000×=900(本).

    答:估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍.

    点评: 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

     

    21.(8分)(2015郴州)自201412月启动绿茵行动,青春聚力郴州共青林植树活动以来,某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵,其中购买桂花树花费3000元.已知桂花树比樱花树的单价高50%,求樱花树的单价及棵树.

    考点: 分式方程的应用.菁优网版权所有

    分析: 设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%x元,根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可.

    解答: 解:设樱花树的单价为x元,则桂花树的单价为(1+50%x元,由题意得

    +=30

    解得:x=200

    经检验x=200是原方程的解.

    则(1+50%x=300

    =20(棵)

    答:樱花树的单价为200元,有20棵.

    点评: 此题考查分式方程的应用,找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键.

     

    22.(8分)(2015郴州)如图,要测量A点到河岸BC的距离,在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上,在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上,又测得BC=150m.求A点到河岸BC的距离.(结果保留整数)(参考数据:1.411.73

    考点: 解直角三角形的应用-方向角问题.菁优网版权所有

    分析: 过点AADBC于点D,设AD=xm.用含x的代数式分别表示BDCD.再根据BD+CD=BC,列出方程x+x=150,解方程即可.

    解答: 解:过点AADBC于点D,设AD=xm

    RtABD中,∵∠ADB=90°BAD=30°

    BD=ADtan30°=x

    RtACD∵∠ADC=90°CAD=45°

    CD=AD=x

    BD+CD=BC

    x+x=150

    x=75395

    A点到河岸BC的距离约为95m

    点评: 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过作辅助线构造直角三角形,再把条件和问题转化到直角三角形中,有公共直角边的可利用这条边进行求解.

     

    23.(8分)(2015郴州)如图,ACABCD的一条对角线,过AC中点O的直线分别交ADBC于点EF

    1)求证:AOE≌△COF

    2)当EFAC满足什么条件时,四边形AFCE是菱形?并说明理由.

    考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的判定.菁优网版权所有

    分析: 1)由平行四边形的性质得出ADBC,得出EAO=FCO,由ASA即可得出结论;

    2)由AOE≌△COF,得出对应边相等AE=CF,证出四边形AFCE是平行四边形,再由对角线EFAC,即可得出四边形AFCE是菱形.

    解答: 1)证明:四边形ABCD是平行四边形,

    ADBC

    ∴∠EAO=FCO

    OOA的中点,

    OA=OC

    AOECOF中,

    ∴△AOE≌△COFASA);

    2)解:EFAC时,四边形AFCE是菱形;理由如下:

    ∵△AOE≌△COF

    AE=CF

    AECF

    四边形AFCE是平行四边形,

    EFAC

    四边形AFCE是菱形.

    点评: 本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、菱形的判定;熟练掌握平行四边形的性质,证明三角形全等是解决问题的关键.

     

    24.(10分)(2015郴州)阅读下面的材料:

    如果函数y=fx)满足:对于自变量x的取值范围内的任意x1x2

    1)若x1x2,都有fx1)<fx2),则称fx)是增函数;

    2)若x1x2,都有fx1)>fx2),则称fx)是增函数.

    例题:证明函数fx=x0)是减函数.

    证明:假设x1x2,且x10x20

    fx1)﹣fx2===

    x1x2,且x10x20

    x2x10x1x20

    0,即fx1)﹣fx2)>0

    fx1)>fx2

    函数fx=x0)是减函数.

    根据以上材料,解答下面的问题:

    1)函数fx=x0),f1==1f2==

    计算:f3=  f4=  ,猜想fx=x0)是 减 函数(填);

    2)请仿照材料中的例题证明你的猜想.

    考点: 反比例函数综合题.菁优网版权所有

    专题: 阅读型.

    分析: 1)根据题意把x=3x=4代入,再比较其大小即可;

    2)假设x1x2,且x10x20,再作差比较即可.

    解答: 1)解:fx=x0),f1==1f2==

    f3==f4==

    猜想fx=x0)是减函数.

    故答案为:,减;

    2)证明:假设x1x2,且x10x20

    fx1)﹣fx2===

    x1x2,且x10x20

    x2x10x2+x10x12x220

    0,即fx1)﹣fx2)>0

    fx1)>fx2

    函数fx=x0)是减函数.

    点评: 本题考查的是反比例函数综合题,根据题中所给出的材料假设出x1x2,且x10x20,再比较出其大小即可.

     

    25.(10分)(2015郴州)如图,已知抛物线经过点A40),B04),C66).

    1)求抛物线的表达式;

    2)证明:四边形AOBC的两条对角线互相垂直;

    3)在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的DEFG?(顶点DEFG分别在线段AOOBBCCA上,且不与四边形AOBC的顶点重合)若能,求出DEFG的最大面积,并求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.

    考点: 二次函数综合题.菁优网版权所有

    专题: 综合题.

    分析: 1)根据抛物线经过点A40),B04),C66),利用待定系数法,求出抛物线的表达式即可;

    2)利用两点间的距离公式分别计算出OA=4OB=4CB=2CA=2,则OA=OBCA=CB,根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB,所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直;

    3)如图2,利用两点间的距离公式分别计算出AB=4OC=6,设Dt0),根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EFDGEF=DG,再由OC垂直平分AB得到OBCOAC关于OC对称,则可判断EFDG为对应线段,所以四边形DEFG为矩形,DGOC,则DEAB,于是可判断ODE∽△OAB,利用相似比得DE=t,接着证明ADG∽△AOC,利用相似比得DG=4t),所以矩形DEFG的面积=DEDG=t4t=3t2+12t,然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值,从而得到此时D点坐标.

    解答: 解:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c

    根据题意得,解得

    抛物线的表达式为y=x2x+4

    2)如图1,连结ABOC

    A40),B04),C66),

    OA=4OB=4CB==2CA==2

    OA=OBCA=CB

    OC垂直平分AB

    即四边形AOBC的两条对角线互相垂直;

    3)能.

    如图2AB==4OC==6,设Dt0),

    四边形DEFG为平行四边形,

    EFDGEF=DG

    OC垂直平分AB

    ∴△OBCOAC关于OC对称,

    EFDG为对应线段,

    四边形DEFG为矩形,DGOC

    DEAB

    ∴△ODE∽△OAB

    =,即=,解得DE=t

    DGOC

    ∴△ADG∽△AOC

    =,即=,解得DG=4t),

    矩形DEFG的面积=DEDG=t4t=3t2+12t=3t22+12

    t=2时,平行四边形DEFG的面积最大,最大值为12,此时D点坐标为(20).

    点评: 考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和对称的判定与性质;理解坐标与图形性质,会利用两点间的距离公式计算线段的长;掌握线段垂直平分线的判定方法和平行四边形的性质;会利用相似比计算线段的长.

     

    26.(12分)(2015郴州)如图,在四边形ABCD中,DCABDAABAD=4cmDC=5cmAB=8cm.如果点PB点出发沿BC方向向点C匀速运动,同时点QA点出发沿AB方向向点B匀速运动,它们的速度均为1cm/s,当P点到达C点时,两点同时停止运动,连接PQ,设运动时间为t s,解答下列问题:

    1)当t为何值时,PQ两点同时停止运动?

    2)设PQB的面积为S,当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值;

    3)当PQB为等腰三角形时,求t的值.

    考点: 四边形综合题.菁优网版权所有

    分析: 1)通过比较线段ABBC的大小,找出较短的线段,根据速度公式可以直接求得;

    2)由已知条件,把PQB的边QB用含t的代数式表示出来,三角形的高可由相似三角形的性质也用含t的代数式表示出来,代入三角形的面积公式可得到一个二次函数,即可求出S的最值;

    3)通过作辅助线构造直角三角形,由勾股定理用含t的代数式把PQB三边表示出来,根据线段相等列出等式求解,即可求的结论.

    解答: 解:(1)作CEABE

    DCABDAAB

    四边形AFVE是矩形,

    AE=DE=5CE=AD=4

    BE=3

    BC=

    BCAB

    PC时,PQ同时停止运动,

    t=(秒),

    t=5秒时,PQ两点同时停止运动.

    2)由题意知,AQ=BP=t

    QB=8t

    PFQBF,则BPFBCE

    ,即

    BF=

    S=QBPF=×8t==t42+0t5),

    0

    S有最大值,当t=4时,S的最大值是

    3cosB=

    BF=tcosB=

    QF=ABAQBF=8

    QP===4

    PQ=PB时,即QP4,解得t=(舍去负值)

    t=5,不合题意,

    PQ=BQ时,即4=8t

    解得:t1=0(舍去),t2=

    QB=BP,即8t=t

    解得:t=4

    综上所述:当t=秒或t=4秒时,PQB为等腰三角形.

    点评: 本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、列函数解析式、求二次函数的最值,综合性强,能根据已知条件把所需线段用含t的代数式表示来,灵活用用三角形的性质和判定是解决问题的关键,要注意分类思想、方程思想的应用.

     



      
分享到: