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  • 试题:

    湖南省永州市2015年中考数学试卷

    一、选择题,共10小题,每小题3分,共30

    1.在数轴上表示数﹣12014的两点分别为AB,则AB两点间的距离为(  )

     

    A

    2013

    B

    2014

    C

    2015

    D

    2016

    考点:

    数轴..

    分析:

    数轴上两点间的距离等于表示这两点的数的差的绝对值.

    解答:

    解:|12014|=2015,故AB两点间的距离为2015,故选:C

    点评:

    本题考查了数轴,由于引进了数轴,我们把数和点对应起来,也就是把结合起来,二者互相补充,相辅相成,把很多复杂的问题转化为简单的问题,在学习中要注意培养数形结合的数学思想.

     

    2.(3分)(2015永州)下列运算正确的是(  )

     

    A

    a2a3=a6

    B

    (﹣a+b)(a+b=b2a2

     

    C

    a34=a7

    D

    a3+a5=a8

    考点:

    平方差公式;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方..

    分析:

    A:根据同底数幂的乘法法则判断即可.

    B:平方差公式:(a+b)(ab=a2b2,据此判断即可.

    C:根据幂的乘方的计算方法判断即可.

    D:根据合并同类项的方法判断即可.

    解答:

    解:a2a3=a5

    选项A不正确;

    (﹣a+b)(a+b=b2a2

    选项B正确;

    a34=a12

    选项C不正确;

    a3+a5a8

    选项D不正确.

    故选:B

    点评:

    1)此题主要考查了平方差公式,要熟练掌握,应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题:左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数;右边是相同项的平方减去相反项的平方;公式中的ab可以是具体数,也可以是单项式或多项式;对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便.

    2)此题还考查了同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:底数必须相同;按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加.

    3)此题还考查了幂的乘方和积的乘方,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:amn=amnmn是正整数);abn=anbnn是正整数).

    4)此题还考查了合并同类项的方法,要熟练掌握.

     

    3.(3分)(2015永州)某中学九年级舞蹈兴趣小组8名学生的身高分别为(单位:cm):168165168166170170176170,则下列说法错误的是(  )

     

    A

    这组数据的众数是170

     

    B

    这组数据的中位数是169

     

    C

    这组数据的平均数是169

     

    D

    若从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演,则这名学生的身高不低于170的概率为

    考点:

    众数;加权平均数;中位数;概率公式..

    分析:

    分别利用众数、中位数、平均数及概率的知识求解后即可判断正误;

    解答:

    解:A、数据170出现了3次,最多,故众数为170,正确,不符合题意;

    B、排序后位于中间位置的两数为168170,故中位数为169,正确,不符合题意;

    C、平均数为(168+165+168+166+170+170+176+170÷4=169.125,故错误,符合题意;

    D、从8名学生中任选1名学生参加校文艺会演,则这名学生的身高不低于170的概率为=

    故选C

    点评:

    本题考查了众数、加权平均数、中位数及概率公式,解题的关键是能够分别求得有关统计量,难度不大.

     

    4.(3分)(2015永州)永州市双牌县的阳明山风光秀丽,历史文化源远流长,尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观,被誉为天下第一杜鹃红.今年五一期间举办了阳明山杜鹃花旅游文化节,吸引了众多游客前去观光赏花.在文化节开幕式当天,从早晨800开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人,同时每小时走出景区的游客人数约为600人,已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000人,则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为(  )

     

    A

    1000

    B

    1200

    C

    1300

    D

    1600

    考点:

    一元一次方程的应用..

    分析:

    设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点,结合已知条件从早晨800开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1000人,同时每小时走出景区的游客人数约为600人,已知阳明上景区游客的饱和人数约为2000列出方程并解答.

    解答:

    解:设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点,则

    x8×1000600=2000

    解得x=13

    即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为1300

    故选:C

    点评:

    本题考查了一元一次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系列出方程,再求解.

     

    5.(3分)(2015永州)一张桌子上摆放有若干个大小、形状完全相同的碟子,现从三个方向看,其三种视图如图所示,则这张桌子上碟子的总数为(  )

     

    A

    11

    B

    12

    C

    13

    D

    14

    考点:

    由三视图判断几何体..

    分析:

    从俯视图可得:碟子共有3摞,结合主视图和左视图,可得每摞碟子的个数,相加可得答案.

    解答:

    解:由俯视图可得:碟子共有3摞,

    由几何体的主视图和左视图,可得每摞碟子的个数,如下图所示:

    故这张桌子上碟子的个数为3+4+5=12个,

    故选:B

    点评:

    本题考查的知识点是简单空间图形的三视图,分析出每摞碟子的个数是解答的关键.

     

    6.(3分)(2015永州)如图,PO外一点,PAPB分别交OCD两点,已知所对的圆心角分别为90°50°,则P=(  )

     

    A

    45°

    B

    40°

    C

    25°

    D

    20°

    考点:

    圆周角定理..

    分析:

    先由圆周角定理求出AADB的度数,然后根据三角形外角的性质即可求出P的度数.

    解答:

    解:所对的圆心角分别为90°50°

    ∴∠A=25°ADB=45°

    ∵∠P+A=ADB

    ∴∠P=ADBP=45°25°=20°

    故选D

    点评:

    此题考查了圆周角定理及三角形外角的性质,解题的关键是:熟记并能灵活应用圆周角定理及三角形外角的性质解题.

     

    7.(3分)(2015永州)若不等式组恰有两个整数解,则m的取值范围是(  )

     

    A

    A1m0

    B

    1m0

    C

    1m0

    D

    1m0

    考点:

    一元一次不等式组的整数解..

    分析:

    先求出不等式的解集,根据题意得出关于m的不等式组,求出不等式组的解集即可.

    解答:

    解:不等式组的解集为m1x1

    不等式组恰有两个整数解,

    2m1<﹣1

    解得:﹣1m0

    恰有两个整数解,

    故选A

    点评:

    本题考查了解一元一次不等式组,不等式组的解集的应用,解此题的关键是能求出关于m的不等式组,难度适中.

     

    8.(3分)(2015永州)如图,下列条件不能判定ADB∽△ABC的是(  )

     

    A

    ABD=ACB

    B

    ADB=ABC

    C

    AB2=ADAC

    D

    =

    考点:

    相似三角形的判定..

    分析:

    根据有两个角对应相等的三角形相似,以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似,分别判断得出即可.

    解答:

    解:A∵∠ABD=ACBA=A∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;

    B∵∠ADB=ABCA=A∴△ABC∽△ADB,故此选项不合题意;

    CAB2=ADAC=A=AABC∽△ADB,故此选项不合题意;

    D=不能判定ADB∽△ABC,故此选项符合题意.

    故选:D

    点评:

    本题考查了相似三角形的判定,利用了有两个角对应相等的三角形相似,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.

     

    9.(3分)(2015永州)如图,在四边形ABCD中,AB=CDBACD的延长线交于点E,若点P使得SPAB=SPCD,则满足此条件的点P(  )

     

    A

    有且只有1

     

    B

    有且只有2

     

    C

    组成E的角平分线

     

    D

    组成E的角平分线所在的直线(E点除外)

    考点:

    角平分线的性质..

    分析:

    根据角平分线的性质分析,作E的平分线,点PABCD的距离相等,即可得到SPAB=SPCD

    解答:

    解:作E的平分线,

    可得点PABCD的距离相等,

    因为AB=CD

    所以此时点P满足SPAB=SPCD

    故选D

    点评:

    此题考查角平分线的性质,关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.

     

    10.(3分)(2015永州)定义

    y10

    B1y2)和C2y3)位于第一象限,

    y20y30

    12

    y2y3

    y1y3y2

    故答案为:y1y3y2

    点评:

    本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.

     

    15.(3分)(2015永州)如图,在ABC中,已知1=2BE=CDAB=5AE=2,则CE= 3 

    考点:

    全等三角形的判定与性质..

    分析:

    由已知条件易证ABE≌△ACD,再根据全等三角形的性质得出结论.

    解答:

    解:ABEACD中,

    ∴△ABE≌△ACDAAS),

    AD=AE=2AC=AB=5

    CE=BD=ABAD=3

    故答案为3

    点评:

    本题主要考查了全等三角形的性质和判定,熟记定理是解题的关键

     

    16.(3分)(2015永州)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标(﹣20),ABO是直角三角形,AOB=60°.现将RtABO绕原点O按顺时针方向旋转到RtABO的位置,则此时边OB扫过的面积为 π 

    考点:

    扇形面积的计算;坐标与图形性质;旋转的性质..

    分析:

    根据点A的坐标(﹣20),可得OA=2,再根据含30°的直角三角形的性质可得OB的长,再根据性质的性质和扇形的面积公式即可求解.

    解答:

    解:A的坐标(﹣20),

    OA=2

    ∵△ABO是直角三角形,AOB=60°

    ∴∠OAB=30°

    OB=OA=1

    OB扫过的面积为:=π

    故答案为:π

    点评:

    本题考查了扇形的面积公式:S=,其中n为扇形的圆心角的度数,R为圆的半径),或S=lRl为扇形的弧长,R为半径.

     

    17.(3分)(2015永州)在等腰ABC中,AB=AC,则有BC边上的中线,高线和BAC的平分线重合于AD(如图一).若将等腰ABC的顶点A向右平行移动后,得到ABC(如图二),那么,此时BC边上的中线、BC边上的高线和BAC的平分线应依次分别是 AD  AF  AE .(填ADAEAF

    考点:

    平移的性质;等腰三角形的性质..

    分析:

    根据三角形中线的定义,可得答案,根据三角形角平分线的定义,可得答案,三角形高线的定义,可得答案.

    解答:

    解:

    在等腰ABC中,AB=AC,则有BC边上的中线,高线和BAC的平分线重合于AD(如图一).若将等腰ABC的顶点A向右平行移动后,得到ABC(如图二),那么,此时BC边上的中线、BC边上的高线和BAC的平分线应依次分别是 ADAFAE

    故答案为:ADAFAE

    点评:

    本题考查了平移的性质,平移不改变三角形的中线,三角形的角平分线分角相等,三角形的高线垂直于角的对边.

     

    18.(3分)(2015永州)设an为正整数n4的末位数,如a1=1a2=6a3=1a4=6.则a1+a2+a3++a2013+a2014+a2015= 2 

    考点:

    尾数特征..

    分析:

    正整数n4的末位数依次是1616561610,十个一循环,先求出2015÷10的商和余数,再根据商和余数,即可求解.

    解答:

    解:正整数n4的末位数依次是1616561610,十个一循环,

    1+6+1+6+5+6+1+6+1+0=33

    2015÷10=2015

    33×201+1+6+1+6+5

    =6633+19

    =6652

    a1+a2+a3++a2013+a2014+a2015=2

    故答案为:2

    点评:

    考查了尾数特征,本题关键是得出正整数n4的末位数依次是1616561610,十个一循环.

     

    三、简单题,共9小题,共76

    19.(6分)(2015永州)计算:cos30°+2

    考点:

    实数的运算;负整数指数幂;特殊角的三角函数值..

    专题:

    计算题.

    分析:

    原式第一项利用特殊角的三角函数值计算,第二项化为最简二次根式,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果.

    解答:

    解:原式=+4=4

    点评:

    此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

     

    20.(6分)(2015永州)先化简,再求值:mn),其中=2

    考点:

    分式的化简求值..

    分析:

    先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再由=2得出m=2n,代入原式进行计算即可.

    解答:

    解:原式=mn

    =

    =2m=2n

    故原式===5

    点评:

    本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

     

    21.(8分)(2015永州)中央电视台举办的中国汉字听写大会节目受到中学生的广泛关注.某中学为了了解学生对观看中国汉字听写大会节目的喜爱程度,对该校部分学生进行了随机抽样调查,并绘制出如图所示的两幅统计图.在条形图中,从左向右依次为A类(非常喜欢),B类(较喜欢),C类(一般),D类(不喜欢).已知A类和B类所占人数的比是59,请结合两幅统计图,回答下列问题:

    1)写出本次抽样调查的样本容量;

    2)请补全两幅统计图;

    3)若该校有2000名学生.请你估计观看中国汉字听写大会节目不喜欢的学生人数.

    考点:

    条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图..

    分析:

    1)用A类的人数除以它所占的百分比,即可得样本容量;

    2)分别计算出D类的人数为:1002035100×19%=26(人),D类所占的百分比为:26÷100×100%=26%B类所占的百分比为:35÷100×100%=35%,即可补全统计图;

    3)用2000乘以26%,即可解答.

    解答:

    解:(120÷20%=100

    本次抽样调查的样本容量为100

    2D类的人数为:1002035100×19%=26(人),

    D类所占的百分比为:26÷100×100%=26%B类所占的百分比为:35÷100×100%=35%

    如图所示:

    32000×26%=520(人).

    故若该校有2000名学生.估计观看中国汉字听写大会节目不喜欢的学生人数为520人.

    点评:

    本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

     

    22.(8分)(2015永州)已知关于x的一元二次方程x2+x+m22m=0有一个实数根为﹣1,求m的值及方程的另一实根.

    考点:

    一元二次方程的解;根与系数的关系..

    分析:

    x=1代入已知方程列出关于m的新方程,通过解该方程来求m的值;然后结合根与系数的关系来求方程的另一根.

    解答:

    解:设方程的另一根为x2,则

    1+x2=1

    解得x2=0

    x=1代入x2+x+m22m=0,得

    (﹣12+(﹣1+m22m=0,即mm2=0

    解得m1=0m2=2

    综上所述,m的值是02,方程的另一实根是0

    点评:

    本题主要考查了一元二次方程的解.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.

     

    23.(8分)(2015永州)如图,在四边形ABCD中,A=BCD=90°BC=DC.延长ADE点,使DE=AB

    1)求证:ABC=EDC

    2)求证:ABC≌△EDC

    考点:

    全等三角形的判定与性质..

    专题:

    证明题.

    分析:

    1)根据四边形的内角和等于360°求出B+ADC=180°,再根据邻补角的和等于180°可得CDE+ADE=180°,从而求出B=CDE

    2)根据边角边证明即可.

    解答:

    1)证明:在四边形ABCD中,∵∠BAD=BCD=90°

    90°+B+90°+ADC=360°

    ∴∠B+ADC=180°

    ∵∠CDE+ADE=180°

    ∴∠ABC=CDE

    2)连接AC,由(1)证得ABC=CDE

    ABCEDC中,

    ∴△ABC≌△EDCSAS).

    点评:

    本题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,根据四边形的内角和定理以及邻补角的定义,利用同角的补角相等求出夹角相等是证明三角形全等的关键,也是本题的难点.

     

    24.(10分)(2015永州)如图,有两条公路OMON相交成30°角,沿公路OM方向离O80处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以P为圆心50长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.

    1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离;

    2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.

    考点:

    勾股定理的应用;垂径定理的应用..

    分析:

    1)直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可;

    2)根据题意可知,图中AB=50mADBC,且BD=CDAOD=30°OA=80m;再利用垂径定理及勾股定理解答即可.

    解答:

    解:(1过点AADON于点D

    ∵∠NOM=30°AO=80m

    AD=40m

    即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40

    2)由图可知:以50m为半径画圆,分别交ONBC两点,ADBCBD=CD=BCOA=800m

    RtAOD中,AOB=30°

    AD=OA=×800=400m

    RtABD中,AB=50AD=40,由勾股定理得:BD===30m

    BC=2×30=60,即重型运输卡车在经过BD时对学校产生影响.

    重型运输卡车的速度为18千米/小时,即=30/分钟,

    重型运输卡车经过BD时需要60÷30=2(分钟).

    答:卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为2分钟.

    点评:

    此题考查的是垂径定理与勾股定理在实际生活中的运用,解答此题的关键是卡车在哪段路上运行时对学校产生影响.

     

    25.(10分)(2015永州)如图,已知ABC内接于O,且AB=AC,直径ADBC于点EFOE上的一点,使CFBD

    1)求证:BE=CE

    2)试判断四边形BFCD的形状,并说明理由;

    3)若BC=8AD=10,求CD的长.

    考点:

    垂径定理;勾股定理;菱形的判定..

    分析:

    1)证明ABD≌△ACD,得到BAD=CAD,根据等腰三角形的性质即可证明;

    2)菱形,证明BFE≌△CDE,得到BF=DC,可知四边形BFCD是平行四边形,易证BD=CD,可证明结论;

    3)设DE=x,则根据CE2=DEAE列方程求出DE,再用勾股定理求出CD

    解答:

    1)证明:AD是直径,

    ∴∠ABD=ACD=90°

    RtABDRtACD中,

    RtABDRtACD

    ∴∠BAD=CAD

    AB=AC

    BE=CE

    2)四边形BFCD是菱形.

    证明:AD是直径,AB=AC

    ADBCBE=CE

    CFBD

    ∴∠FCE=DBE

    BEDCEF

    ∴△BED≌△CEF

    CF=BD

    四边形BFCD是平行四边形,

    ∵∠BAD=CAD

    BD=CD

    四边形BFCD是菱形;

    3)解:AD是直径,ADBCBE=CE

    CE2=DEAE

    DE=x

    BC=8AD=10

    42=x10x),

    解得:x=2x=8(舍去)

    RtCED中,

    CD===2

    点评:

    本题主要考查了圆的有关性质:垂径定理、圆周角定理,三角形全等的判定与性质,菱形的判定与性质,勾股定理,三角形相似的判定与性质,熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.

     

    26.(10分)(2015永州)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(10),与y轴的交点坐标为(0).R11)是抛物线对称轴l上的一点.

    1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;

    2)若P是抛物线上的一个动点(如图一),求证:点PR的距离与点P到直线y=1的距离恒相等;

    3)设直线PR与抛物线的另一交点为QE为线段PQ的中点,过点PEQ分别作直线y=1的垂线.垂足分别为MFN(如图二).求证:PFQF

    考点:

    二次函数综合题..

    专题:

    计算题.

    分析:

    1)设顶点式y=ax12,然后把(0)代入求出a即可;

    2)根据二次函数图象上点的坐标,设Pxx12),易得PM=x12+1,然后利用两点的距离公式计算PR,得到PR2=x12+

    1)如图一,易证PMO+PNO=180°,从而可得四边形PMON内接于圆,直径OP=2

    2)如图一,易证四边形PMON是矩形,则有MN=OP=2,问题得以解决;

    3如图二,根据等弧所对的圆心角相等可得COP1=BOP1=60°,根据圆内接四边形的对角互补可得MP1N=60°.根据角平分线的性质可得P1M=P1N,从而得到P1MN是等边三角形,则有MN=P1M.然后在RtP1MO运用三角函数就可解决问题;设四边形PMON的外接圆为O,连接NO并延长,交O于点Q,连接QM,如图三,根据圆周角定理可得QMN=90°MQN=MPN=60°,在RtQMN中运用三角函数可得:MN=QNsinMQN,从而可得MN=OPsinMQN,由此即可解决问题;

    4)由(3中已得结论MN=OPsinMQN可知,当MQN=90°时,MN最大,问题得以解决.

    解答:

    解:(1)如图一,

    PMOCPNOB

    ∴∠PMO=PNO=90°

    ∴∠PMO+PNO=180°

    四边形PMON内接于圆,直径OP=2

    2)如图一,

    ABOC,即BOC=90°

    ∴∠BOC=PMO=PNO=90°

    四边形PMON是矩形,

    MN=OP=2

    MN的长为定值,该定值为2

    3如图二,

    P1的中点,BOC=120°

    ∴∠COP1=BOP1=60°MP1N=60°

    P1MOCP1NOB

    P1M=P1N

    ∴△P1MN是等边三角形,

    MN=P1M

    P1M=OP1sinMOP1=2×sin60°=

    MN=

    设四边形PMON的外接圆为O,连接NO并延长,

    O于点Q,连接QM,如图三,

    则有QMN=90°MQN=MPN=60°

    RtQMN中,sinMQN=

    MN=QNsinMQN

    MN=OPsinMQN=2×sin60°=2×=

    MN是定值.

    4)由(3MN=OPsinMQN=2sinMQN

    当直径ABCD相交成90°角时,MQN=180°90°=90°MN取得最大值2

    点评:

    本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识,推出MN=OPsinMQN是解决本题的关键.

     



      
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